第1章 函數(shù)與極限總結(jié)

1、極限的概念

(1)數(shù)列極限的定義

給定數(shù)列{x?}，若存在常數(shù)a，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n>N時(shí)的一切n，恒有

?|x??a|<ξ 則稱a是數(shù)列{x?}的極限，或者稱數(shù)列 ?x? 收斂于 a,記為? ?

limn→∞xn=a 或xn→a(n→∞).

(2)函數(shù)極限的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?的某一去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)|x|>M>0)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)， 總存在正數(shù)δ，(或存在X) 使得當(dāng)x滿足不等式0<lx-x?l<δ時(shí),(或當(dāng)|x|>X時(shí)) 恒有|f(x)-Al<ε,

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x?(或x→∞)時(shí)的極限，記為

?limx→x0f(x)=A 或f(x)→A(當(dāng)x→x0).( 或 ? limx→∞f(x)=A

類似的有:如果存在常數(shù)A,對(duì)?ε>0,?δ>0,當(dāng). x:x?-δ < x< x?( x?< x< x?-δ )

時(shí),恒有|f(x)-A|<ε,則稱A為f(x)當(dāng)x→x?時(shí)的左極限(或右極限)記作

?limx→x0f(x)=A (或? ?

?limx→x0f(x)=A)

顯然有? ?

? ?

? ?

?limx→x0f(x)=A?limx→x0?f(x)=limx→x0+f(x)=A)

如果存在常數(shù)A,對(duì)?ε>0,?X>0,當(dāng)x<-X(或x>X)時(shí),恒有|f(x)-A|<ε,

則稱A為f(x)當(dāng)x→-∞(或當(dāng)x→+∞)時(shí)的極限

記作 ? limx→?∞f(x)=A (或 ? limx→+∞f(x)=A)

顯然有 ? ? ? limx→∞f(x)=A?limx→?∞f(x)=limx→+∞f(x)=A)

2、極限的性質(zhì)

(1)唯一性

若? ??

?

limn→∞xn=a,limn→∞xn=b, 則a=b

? ?

?limx→∞(x→x0)f(x)=Alimx→∞(x→x0)f(x)=B,

(2)有界性

(i)若? ??

limn→∞xn=a, 則?M>0使得對(duì) ??n∈N?, 恒有