牛頓316、證明“有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小”

2021年1月5日，網(wǎng)友“稻草人”發(fā)表名為《極限——極限運算法則證明》的圖片文章。

…極、限、極限：見《歐幾里得218~303》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

…運、算、運算：見《歐幾里得121》…

…法、則、法則：見《歐幾里得108》…

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

?

圖片內(nèi)容：…

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

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定理2：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

…有、界、有界，函、數(shù)、函數(shù)，有界函數(shù)：見《牛頓303~306》…

…無、窮、無窮，小，無窮?。阂姟杜ｎD280》…

…積：見《牛頓19》…

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證明：設(shè)函數(shù)u在x0的某一去心領(lǐng)域U（去心）（x0，δ1）有界，設(shè)α是x→x0

時的無窮小。

…α：Alpha（大寫Α，小寫α，中文音譯：阿爾法、阿拉法），是第1個希臘字母…

根據(jù)函數(shù)有界的定義，得：

?（存在）M＞0，使|u|≤M對?（任意）x∈U（去心）（x0，δ1）成立。

…?、?：見《牛頓309》…

…∈：屬于…見《牛頓303》…

…δ（希臘字母）：Delta（大寫 Δ，小寫 δ），是第四個希臘字母…

根據(jù)無窮小的定義，得：

?（任意）ε＞0，?（存在）δ2＞0，當x∈U（去心）（x0，δ1）時，有|α-0|<ε·1/M=ε/M

…ε（伊普西龍）：希臘字母第五個字母，大寫Ε，小寫ε，拉丁字母的E是從ε變來…

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[無窮小

定義1 （直觀定義） 絕對值無限減小的變量稱為無窮小。

定義2 （直觀定義）

對于任給的正數(shù)ε（無論它多么小），總存在正數(shù)M，使得不等式|x|＞M的一切x對應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮小量。

定義3

對于任給的正數(shù) ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)δ，使得不等式0＜|x-x0|＜δ的一切x對應(yīng)的函數(shù)值f（x）都滿足不等式|f（x）-f（x0）|＜ε，則稱函數(shù)f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮小量。

——《牛頓314》]

取δ=min{δ1，δ2}，則當x∈U（去心）（x0，δ1）時，

|u|≤M，|α|＜ε/M同時成立，

從而|uα|≤|u||α|＜M·ε/M=ε，

即|uα|＜ε。

…min{，}：取{，}里面最小的值…見《牛頓315》…

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用無窮小定義判斷，uα是當x→x0時的無窮小。

?

推論1：常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

…推、論、推論：見《歐幾里得66》…

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推論2：有限個無窮小的乘積是無窮小

“根據(jù)“在自變量的同一變化過程x→x0（x→∞）中，函數(shù)f（x）具有極限A的充分必要條件是f（x）=A+α，其中α是無窮小”，得：

f（x）=A+α，g（x）=B+β

∴ f（x）g（x）=（A+α）（B+β）=AB+βA+αB+αβ

請看下集《牛頓317、證明“l(fā)im[ f（x）±g（x）]=lim f（x）±lim g（x）”》”

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