我相信，這是最省力的算法了（2022新高考1卷圓錐曲線(xiàn)）
2022-07-06 10:01 作者:數(shù)學(xué)老頑童 | 我要投稿
（2022新高考Ⅰ，21）已知點(diǎn)
在雙曲線(xiàn)
：
（
）上，直線(xiàn)
交
、
兩點(diǎn)，直線(xiàn)
、
的斜率之和為
.
（1）求
（2）若
，求
的面積.
解：（1）由題可知，
解得，
所以的方程為
.
的方程可改寫(xiě)為
，
整理，得
.
設(shè)的方程為
，
與聯(lián)立，得
，
展開(kāi)，得
，
合并同類(lèi)項(xiàng)
，
各項(xiàng)同時(shí)除以，得
，
最后調(diào)一下符號(hào)
因?yàn)?/p>
，
所以，
所以的方程為
，
整理得，.
易知的斜率為
.
（2）設(shè)，
，則
，
解得，或
（舍）
不妨設(shè)，
若的傾斜角為
，
則，
則直線(xiàn)與
的漸近線(xiàn)平行，只有唯一交點(diǎn)，即
、
重合，不合題意.
故的傾斜角為
，
所以，
，
是時(shí)候畫(huà)個(gè)圖了：
由（1）可知
，
所以，
又因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=n%3Dm" alt="n%3Dm">，
二者聯(lián)立，解得，
所以的方程為
.
設(shè)與直線(xiàn)
交于
，易知
.
聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)
，消去
，
解得，
聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)
，消去
，
解得，所以
，
所以
.
