微分幾何部分

廣義相對論的基本圖像：時空流形～四維Lorentz流形，曲線～世界線，單位切矢量～4-速度，等等。

微分流形就是很多坐標(biāo)卡覆蓋起來的東西。每個坐標(biāo)卡是與$\mathbb{R}^n$的（微分）同胚，重疊的坐標(biāo)卡需要$C^\inf$相容性。比如AEF坐標(biāo)和REF坐標(biāo)能分別覆蓋Schwarzschild解的最大解析延拓的一部分，在重疊的部分相容。

流形上最基本的東西就是張量場。古典的extrinsic的微分幾何在嵌入的高維空間很直觀地定義切平面、切向量以及方向?qū)?shù)、協(xié)變導(dǎo)數(shù)，現(xiàn)在intrinsic的幾何里沒法這么干，但是可以類比著定義。

首先是切矢和余切矢。我比較喜歡各自拿兩套定義理解。一套是余切矢是切矢到$\mathbb{R}$的線性映射，反之亦然，說的是對偶性。另一套是把切矢按照方向?qū)?shù)的性質(zhì)（Leibniz律）公理化地定義，余切矢按照下面的方式定義：首先有流形$M$在$p$處的$C^\inf$-函數(shù)芽$[f]$，$C_p^\inf$商掉這個等價類記為$\mathcal{H}_p$，這個線性空間再?商掉$\mathcal{F}_p$即關(guān)于局部坐標(biāo)一階偏微商為0的芽構(gòu)成的空間，就得到$T_p^*M$。從這個定義看$df=-tdt+xdx$這樣的式子就很自然了。

對于我這種不懂代數(shù)的人來說，告訴我一個線性映射總是太抽象了，能拿出一組基來才比較舒服。所以看待張量最舒服的觀點(diǎn)就是基下的展開：

之后需要對張量場微分，需要仿射聯(lián)絡(luò)。之后就能定義協(xié)變微分和延曲線微分。

Riemann正則坐標(biāo)的存在性是等效原理在數(shù)學(xué)上的體現(xiàn)。從這個角度來講，等效原理并不是一個基礎(chǔ)性的假設(shè)，而是推論性質(zhì)的。Synge就認(rèn)為：等效原理在相對論創(chuàng)立的初期起到了與以往經(jīng)典物理的橋梁的作用，它可以被稱之為“廣義相對論的接生婆”，而現(xiàn)在“在廣義相對論這個新生嬰兒誕生后把她體面地埋葬掉”。

最小耦合，也即是把平直時空里的偏微分換成協(xié)變微分。然后測地線方程、測地進(jìn)動方程就可以很方便地寫出來。

測地線。加速度為0，相當(dāng)于直線。

Killing矢量場。從實(shí)際應(yīng)用的意義上來講，我們從來不用協(xié)變微分的那個定義；某種坐標(biāo)下，度規(guī)與某個坐標(biāo)無關(guān)，則這個坐標(biāo)的平移就是Killing矢量場。Killing矢量場表征的是流形的對稱性，其最重要的意義在于：測地線的4-速度與Killing矢量的內(nèi)積給出守恒量。對于動力系統(tǒng)來說這種首次積分再好不過了。Killing矢量場也能定義初整體的守恒量。

古典微分幾何課里面解曲面的測地線都是強(qiáng)行解ODE?，F(xiàn)在用Killing矢量+切矢量歸一化條件可以很方便地求解很多以前算起來很麻煩的東西，比如Poincare上平面的測地線。

Noether定理。我是從兩個角度來直觀理解的。從Lagrange力學(xué)來看，無非是Euler-Lagrange方程中Lagrangian與某個廣義坐標(biāo)無關(guān)，則廣義動量守恒；從GR的角度來看，比如對于Schwarzschild時空，$\partial_t$是KIlling矢量場，也就是時間上的對稱性，給出能量守恒；$\partial_\phi$是Killing矢量場，也就是旋轉(zhuǎn)的對稱性，給出角動量守恒。

狹義相對論的formulation

狹義相對論說的是沒有能動張量扭曲的平直時空，數(shù)學(xué)上說就是時空是這樣一個流形，它存在一種特殊的坐標(biāo)系（慣性坐標(biāo)），這個坐標(biāo)能夠覆蓋整個流形，并且度規(guī)是diag(-1,1,1,1)。

不同慣性坐標(biāo)之間的變換即Lorentz變換。雖然從四維來看是個轉(zhuǎn)動，回到三維，這就是向某個方向的平移。

比較難以理解的是時空流形的一個坐標(biāo)化到底代表什么。一個坐標(biāo)在物理上相當(dāng)于對時空的一種度量方式，它可以有比較明確的物理意義（比如Schwarzschild坐標(biāo)是無窮遠(yuǎn)處觀測者的坐標(biāo)），也可以不具有明顯的物理意義（比如烏龜坐標(biāo)就有一種伸縮；Kruskal坐標(biāo)就沒有顯著的物理解釋了）；但是這還不是重點(diǎn)。在狹義相對論里面，我們說一個全局的慣性坐標(biāo)并沒有什么毛病，比如可以指定和“我”這個慣性觀測者“同時”的時空切片；也就是在這種意義下，我們才可以談“尺縮效應(yīng)”之類的事情（并不是我“看到”尺子縮短了，而是尺子在我的這個時刻的類空超曲面上縮短了；我并不能“看到”尺子，我只能看到尺子發(fā)出的光子在某一時刻打在我的視網(wǎng)膜上，這與類空超曲面上截出的尺子是兩回事，只是在狹義相對論中還不太明顯罷了。Terrell轉(zhuǎn)動說的就是“類空超曲面上的截斷”與“視覺效應(yīng)”的差別）。但是到廣義相對論里面，所有東西都是局部的，我能觀測到的事件點(diǎn)跟我必須是重合的。所以根本沒有“遠(yuǎn)處的某個事件和我處于同一個時刻”，或者“我看到遠(yuǎn)處某個東西的速度”，或者“宇宙膨脹中星系遠(yuǎn)離我的速度”，所有的觀測都是在同一點(diǎn)上切矢量在Frenet標(biāo)架上的投影。至于坐標(biāo)時是什么含義，其實(shí)并沒有含義，繞著黑洞的圓周運(yùn)動角速度$\frac{d\phi}{dt}$也沒有任何含義，只是一種記號罷了。比如說，我看著夜空，自己轉(zhuǎn)了一圈，在我看來遠(yuǎn)處的恒星飛快地轉(zhuǎn)了一圈，線速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過光速。但是這只是一種“坐標(biāo)速度”，實(shí)質(zhì)上只是從不同時刻光子達(dá)到我的視網(wǎng)膜上強(qiáng)行定義出來的一個速度，而不是某個切矢量在我的局部實(shí)驗(yàn)室上的投影，所以無所謂超不超光速的問題。所以最后，我們也只能說，一個坐標(biāo)在物理上相當(dāng)于對時空的一種度量方式，而并沒有別的特別的意義。

在流形上有世界線，于是有4-速度，也就是普通的單位切向量。固有時即為類時曲線的長度（的相反數(shù)）。進(jìn)一步有Fermi-Walker坐標(biāo)，就是無空間轉(zhuǎn)動的觀測者坐標(biāo)，從微分幾何角度來看就是一種特殊的Frenet標(biāo)架。有了這個標(biāo)架，就可以作投影來計算測量的物理量。

狹義相對論幾個經(jīng)典的效應(yīng)/佯謬，從幾何角度看都很容易，比如尺縮、鐘慢、光的Doppler頻移、Einstein圓盤、孿生子佯謬。需要注意的是，在平直時空的物理就是狹義相對論，并不一定要取慣性坐標(biāo)系，比如勻加速的Rindler坐標(biāo)，它的Christoffel符號非零，但是Riemann張量仍然為0。畢竟Christoffel符號不是張量，隨坐標(biāo)變換是很隨意改變的。再比如孿生子佯謬也僅僅用到Minkovski時空類時測地線的固有時最長，而不是很多人說的需要廣義相對論。即使你閑著用運(yùn)動者的坐標(biāo)系算，靜止在地球上的那位走的仍然是測地線，照樣最長。

廣義相對論的formulation

從廣義相對論的角度來看，引力并不作為一種力，?“慣性運(yùn)動”/“勻速直線運(yùn)動”是測地運(yùn)動。站在地球上，實(shí)際受到的力只有地面的支持力，所以每時每刻都在加速，偏離墜向地心的慣性運(yùn)動。

Einstein場方程與測地方程可以看成GR的兩個基本假設(shè)。納入作用量體系的話，Einstein場方程、測地線方程、能動量守恒方程都是自洽的。

Schwarzschild度規(guī)

真空Einstein場方程的球?qū)ΨQ解。這是我們在廣義相對論里用的最多的東西。

如果加上宇宙學(xué)常數(shù)，Schwarzschild度規(guī)里會多出一個$r^2$項。這很容易解，畢竟有了Mathematica的GRQUICK之類的package之后就再也沒有手算過Riemann曲率張量。

Schwarzschild度規(guī)下的測地線。你當(dāng)然可以把測地方程寫出來求解，但是最簡單的方法是注意到Killing矢量$\partial_t$與$\partial_\phi$，它們與測地運(yùn)動4-速度的內(nèi)積給出兩個守恒量（能量和角動量，和經(jīng)典力學(xué)中的Keppler問題一樣），在根據(jù)4-速度的歸1（0）化條件就可以完全解出測地線。Kerr黑洞的測地線也可以一樣求解，雖然麻煩很多。

研究測地線的徑向運(yùn)動，可以得到ISCO和光子球。研究測地線對直線或橢圓的偏離，可以得到光線彎曲公式和進(jìn)動角公式。還有一些經(jīng)典的效應(yīng)比如引力紅移（或者更復(fù)雜的吸積盤上引力紅移與Dopper效應(yīng)的結(jié)合）、spaghettification、雷達(dá)回波延遲、de Sitter-Fokker效應(yīng)（用最小耦合）等等都很容易研究。

最后是Schwarzschild黑洞的Penrose圖。

光錐仍為正負(fù)45度。從漸進(jìn)平直時空進(jìn)入事件視界，從無窮遠(yuǎn)處觀者來看要超過無窮遠(yuǎn)的時間。之后在事件視界內(nèi)部，Schwarzschild坐標(biāo)不再覆蓋，而未來奇點(diǎn)是類空的，所以不可避免地撞上。下面是白洞區(qū)域，左側(cè)大概可以說成是某種“平行時空”。

Reissner-Nordstrom度規(guī)

懶得仔細(xì)寫了。度規(guī)就是Schwarzschild度規(guī)里加上一項$1/r^2$項。只放一張Penrose圖。

外視界類似于Schwarzschild黑洞的事件視界。進(jìn)入以后不可避免撞上內(nèi)視界，在這內(nèi)部因?yàn)槠纥c(diǎn)是類時的，所以可以避開，由此進(jìn)入另一個白洞的內(nèi)視界內(nèi)部，再走出外視界進(jìn)入另一個漸進(jìn)平坦時空，由此可以無限往復(fù)。這個數(shù)學(xué)上的解析延拓到底有多少是物理的并不知道，比如球?qū)ΨQ性的破壞會使黑洞隧道很快關(guān)閉。

Kerr度規(guī)和Kerr-Newman度規(guī)

度規(guī)更加麻煩。不過在弱場近似下，可以看成Schwarzschild度規(guī)加上一個引磁項，可以跟電動力學(xué)類比，很有意思（重力電磁性）；用于計算地球這種弱轉(zhuǎn)動也是比較方便的。

Kerr度規(guī)里的r并不能直接理解為Schwarzschild里r同樣的物理含義，而是要通過Kerr-Schild橢球坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。直觀上這代表旋轉(zhuǎn)把時空甩扁了。

Kerr黑洞的無限大紅移面（穩(wěn)態(tài)極限面）和事件視界分離開，之間的能層里的所有東西都被拖拽著旋轉(zhuǎn)而無法靜止。從中可以提取能量（Penrose過程）。

Kerr黑洞的測地線也可以嚴(yán)格求解，也是用兩個Killing矢量。從而也可以研究光子球、ISCO等。此時順著轉(zhuǎn)和倒著轉(zhuǎn)是有區(qū)別的，理所應(yīng)當(dāng)。

最后放一張（非極端）Kerr黑洞的Penrose圖。

跟RN黑洞類似，有兩個視界，不過它的類時奇點(diǎn)是環(huán)狀的，可以穿過去到達(dá)一個漸進(jìn)平坦的時空（圖里叫antiverse）。它還有閉合類時曲線。

亂七八糟的東西

引力波不細(xì)寫了?？偟膩碚f，線性化的Einstein場方程跟電磁場的波動方程長得一樣，所以光速傳播、兩個自由度、橫波這幾條都是好理解的。電磁輻射最高階是偶極輻射，但是引力沒有偶極輻射（動量守恒），所以最高階是四極矩的輻射，有一個四極矩輻射公式，用四極矩的二階微分給出度規(guī)的擾動。引力波的能量損耗也有一個常用的公式，由四極矩的三階微分給出。

估算相對論效應(yīng)。通?？梢园?GM/Rc^2$即$R_s/R$作為相對論因子。地球的Schwardschild半徑大概1cm，太陽大概3km，然后可以很容易地估算這些系統(tǒng)中的相對論效應(yīng)，比如GPS有多少誤差。