最近憑著我狗屎一樣的數(shù)學(xué)啃了好長(zhǎng)時(shí)間的二重積分和三重積分，記錄一下自己對(duì)此的理解：

對(duì)于積分，只是一重定積分的話可以理解為一塊圖形的面積，取極小的一塊區(qū)域計(jì)算面積然后遍及到整個(gè)圖像，對(duì)圖像區(qū)域取極限得到面積就是一重定積分的幾何意義。

而將上述方式推導(dǎo)到二重積分就是：已知一塊面積，以及一個(gè)空間曲面，將這塊面積堆疊取極限，使其與空間曲面契合，這里使用穿線法計(jì)算邊界。

常常不理解，二重積分是空間曲頂柱體的體積，那么曲頂柱體的高是什么？

其實(shí)按照上面的說(shuō)法，這個(gè)曲頂柱體的高就是f(x,?y)，某一點(diǎn)的高肯定是能求出來(lái)的，但在二重積分的體積計(jì)算上并不拘泥于某一點(diǎn)的高。

就像是一重定積分的計(jì)算上所圍平面的差值并不要逐個(gè)求解，只需了解積分區(qū)域邊緣的函數(shù)圖像的差值：f( x1 ) -? f( x2 ) 那樣，二重積分的高就是曲面減底面！如果這個(gè)曲面全部在原點(diǎn)平面（空間直角坐標(biāo)系）上，就是f (x,?y)的值！如果有一部分在原點(diǎn)平面之下，計(jì)算下來(lái)會(huì)和原點(diǎn)平面之上的體積值抵消一部分。

二重積分的物理意義是平面薄片的質(zhì)量，而經(jīng)常能得到的函數(shù)f(x, y)表示的是這一薄片的密度函數(shù)。

上述幾何意義將此描述為平面的高度，如果將幾何意義某一點(diǎn)的高度解釋為這一點(diǎn)密度值（可以想象一下將曲頂柱體的高全投影到底面上，不同高度的值用不同顏色標(biāo)出，像等高線一樣，得到平面的密度可視化圖像），那么這就是二重積分的物理意義。

二重積分的f (x, y)圖像就已經(jīng)是空間曲面了，三重積分f?(x,?y, z)還要多出來(lái)一個(gè)維度計(jì)算量也瞬間爆炸。

三重積分像是在二重積分的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)維度，這個(gè)維度可以代表著密度，亦可以用在其他的抽象計(jì)算上。

三重積分的物理意義是密度不均的空間物體的質(zhì)量，f(x, y, z)也就是這個(gè)空間物體的密度函數(shù)。