就 那條 發(fā)視頻的 一視頻 二例題 之 個人解法 饗以諸君
題1.
（1）
有
f'(x)
=
e^x-cosx+sinx
=
e^x+√2sin(x-π/4)
設
f'(x)＞0
有
x∈(-5π/4，x。)∪（0，+∞）
設
f'(x)＜0
有
x∈(x。，0)
且
lim(x→-5π/4+)f(x)
=
f(-5π/4)
=
e^(-5π/4)
＞
0
且
f(0)=0
即
f(x)≥0
得證
（2）
設
G(x)
=
(g(x)-2)/x
=
(e^x+sinx+cosx-2)/x
設
x=0
有
g(0)
=
2
≥
2
成立
即
a∈R
設
x＞0
有
(g(x)-2)/x≥a
即
G(x)≥a
且
lim(x→0+)G(x)
=
lim(x→0+)(e^x+cosx-sinx)
=
2
且
lim(x→+∞)G(x)
=
lim(x→+∞)(e^x+cosx-sinx)
=
+∞
設
G'(x)=0
有
x(e^x+cosx-sinx)=e^x+sinx+cosx-2
即
(x-1)e^x+(x-1)cosx-(x+1)sinx=-2
設
H(x)=(x-1)e^x+(x-1)cosx-(x+1)sinx
有
H'(x)
=
xe^x+cosx-(x-1)sinx-sinx-(x+1)cosx
=
xe^x-xsinx-xcosx
=
x(e^x-sinx-cosx)
=
x(e^x-√2sin(x+π/4))
且
x＞0
有
e^x＞x+1＞√2sin(x+π/4)
即
x＞0
有
H'(x)＞0
且
H(0)=-2
即
x＞0
有
H(x)＞-2
即
x＞0
H(x)=-2
即
x＞0
(x-1)e^x+(x-1)cosx-(x+1)sinx=-2
無解
即
G(x)min=2
即
a≤2
設
x＜0
有
(g(x)-2)/x≤a
即
G(x)≤a
且
lim(x→0-)G(x)
=
lim(x→0-)(e^x+cosx-sinx)
=
2
且
lim(x→-∞)G(x)
=
0
設
G'(x)=0
有
x(e^x+cosx-sinx)=e^x+sinx+cosx-2
即
(x-1)e^x+(x-1)cosx-(x+1)sinx=-2
即
G(x)
=
(e^x+sinx+cosx-2)/x
=
(e^x+sinx+cosx+(x-1)e^x+(x-1)cosx-(x+1)sinx)/x
=
e^x+cosx-sinx
設
G'(x)
=
e^x-sinx-cosx
=
0
有
e^x=sinx+cosx
即
G(x)
=
2cosx
≤
2
即
G(x)max=2
即
a≥2
綜
a=2
題2.
(1)
設
F(x)=xcosx-sinx+x3/3
有
lim(x→0+)F(x)
=
0
lim(x→1-)F(x)
=
cos1-sin1+1/3
＞
1-12/2+1^4/4！-x^6/6！-（1-13/3！+1^5/5?。?1/3
=
-12/2+13/3！+1^4/4！-x^6/6！-1^5/5！+1/3
=
1^4/4！(1-1/30-1/5)
＞
0
設
F'(x)
=
cosx-xsinx-cosx+x2/2
=
x(x/2-sinx)
=
?0
且
1/2=sin(π/6)＜sin1
即
x∈(0，1)
F'(x)=0
無解
即
F(x)＞0
即
xcosx-sinx+x3/3＞0
即
xcosx-sinx＞-x3/3
即
f(x)＞-x3/3
得證
（2）
有
f'(x)
=
cosx-xsinx+acosx
有
f'(0)=1+a
f'(π)=-1-a
設
f''(x)
=
-sinx-(sinx+xcosx)-asinx
=
(-2-a)sinx-xcosx
=
0
有
a=-(xcosx+2sinx)/sinx
設
f(x)
[0，π]
單調(diào)
有
（1+a）（-1-a）≥0
即
-（1+a)2≥0
即
（1+a)2≤0
即
a=-1
且
(xcosx+sinx)/sinx
-(xcosx+2sinx)cosx/sinx+cosx-xsinx
≥0
即
(xcosx+sinx)
-(xcosx+2sinx)cosx+sinxcosx-xsin2x
即
(xcosx+sinx)(-x-sinxcosx)≥0
即
(xcosx+sinx)(x+sinxcosx)≤0
即
xcosx+sinx≤0
即
a
=?
-(xcosx+2sinx)/sinx
=
-（xcosx+sinx)/sinx-1
≥
-1
且
f(x)
奇函數(shù)
即
f(x)
[-π，π]
單調(diào)
綜
a=-1
ps.
個人解法
僅供參考
如有謬誤
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