□?撰文丨沁瓢瓢（計(jì)算神經(jīng)科學(xué)博士 普林斯頓大學(xué)博士后）

□?責(zé)編丨浦肯野

□?排版丨ahead

? ? ? ?眾所周知，神經(jīng)科學(xué)家們最關(guān)心的問題，除了今天中午食堂是供應(yīng)炒面還是鹵肉飯之外，就是我們的大腦究竟如何從外界萃取和編碼信息。一千多年前的九月,王勃登高望遠(yuǎn)，看見了“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”美不勝收的景色。而這時，他的大腦通過什么機(jī)制分辨出云霞與鳥、水與天呢？

? ? ? ?我們知道，神經(jīng)元是大腦的識別分辨機(jī)制中最基礎(chǔ)的組成元件。在人們剛開始對大腦活動產(chǎn)生興趣的一百年里，科學(xué)家們發(fā)明了膜片鉗技術(shù)來研究神經(jīng)元電位如何波動。而最近幾十年，隨著植入式電極陣列和高密度神經(jīng)探針的發(fā)展進(jìn)步，可以實(shí)現(xiàn)大范圍、高精度、對幾十甚至上百個神經(jīng)元動作電位的精確發(fā)放時間和波形的同時記錄，進(jìn)而研究重心也逐步從關(guān)注單一神經(jīng)元轉(zhuǎn)向研究神經(jīng)元之間的動態(tài)相互作用（neural dynamics）。

? ? ? ?拿筆者的研究舉例，（在佛祖的保佑下）筆者今日從實(shí)驗(yàn)小猴的腦內(nèi)同時記錄到了200個神經(jīng)元隨著時間波動的即時脈沖活動，從而形成一個200維度的神經(jīng)元群體的高維活動空間。假設(shè)我們能畫出這個200維的空間，就可以在每時每刻找到一個點(diǎn)，可以代表著此時200個神經(jīng)元脈沖活動。而點(diǎn)與點(diǎn)連接所形成的軌跡，就代表了這群體神經(jīng)元的活動曲線（neural trajectory）。但是，不難想象神經(jīng)元之間的聯(lián)系高度纏結(jié)并且互相影響，顯然這200個神經(jīng)元的脈沖活動不可能彼此之間完全獨(dú)立、毫無關(guān)聯(lián)。于是乎，我們連接點(diǎn)與點(diǎn)得到的群體神經(jīng)元的活動曲線并不會雜亂無章，也無法經(jīng)過200維空間里的任意位置，而會存在一定規(guī)律，被限制在更低維度的空間中（neural subspace）。至于這個低維空間以及其中的神經(jīng)軌跡具體長什么樣，則是由組成這個空間的群體神經(jīng)元之間的相互作用關(guān)系、相互連接性的強(qiáng)弱、以及具體的生物學(xué)活動等因素共同決定。

? ? ? ?在記錄電極技術(shù)發(fā)展的同時，隨著計(jì)算神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域的興起，大量的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家沖進(jìn)神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域來搶生物學(xué)家的飯碗，繼而涌現(xiàn)出了一批又一批的計(jì)算神經(jīng)科學(xué)家們，開始用幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)的手段在低維度的空間里研究高維度的皮層狀態(tài)的動態(tài)演化。淺顯來說，就是研究怎樣把200維甚至更高維的神經(jīng)空間里的神經(jīng)群體活動降維到低維的神經(jīng)流形（neural manifolds）里，通過研究低維神經(jīng)空間的形狀以及限制于其中的神經(jīng)活動軌跡（neural trajectory），來研究其背后所蘊(yùn)藏的高維神經(jīng)群體對于信號的編碼。筆者不才，想通過這篇文章簡短淺顯地向大家介紹什么是神經(jīng)流形。隨后在下一篇文章中，將和大家一同回顧，最近幾年神經(jīng)科學(xué)家們如何利用一系列高維空間的抽象數(shù)學(xué)的方法來揭露神經(jīng)回路的秘密。

? ? ? ?首先，流形（manifolds）這個概念當(dāng)然不是神經(jīng)科學(xué)這個才一兩百歲的科學(xué)小寶寶所獨(dú)創(chuàng)。她的祖奶奶---數(shù)學(xué)，有一門美麗的分支叫做代數(shù)拓?fù)洌╝lgebraic topology），這門分支玩的就是如何用抽象代數(shù)的工具來研究拓?fù)淇臻g。流形，其實(shí)也是一種拓?fù)淇臻g，可能聽起來比較邪乎，但你可以把它想象成一個可任你隨意扭、扯、拉、卷的膠泥平面。于是乎，對于拓?fù)鋵W(xué)家來說，圓平面和方平面本質(zhì)上來說都是同一個東西，因?yàn)榻?jīng)過延展或彎曲二者可以相互轉(zhuǎn)變，這個概念在拓?fù)鋵W(xué)界被稱為同胚（homeomorphic）。當(dāng)然，并不是所有形狀的流形都相等，因?yàn)槲覀儗δz泥平面的“玩法”還是存在限制。比如說，不能給平面打洞, 再如可以把一張紙折成混天綾，但是折不成乾坤圈等等。如果你已經(jīng)在腦袋里憑空捏扯了幾分鐘膠泥，相信拓?fù)淇臻g這個概念現(xiàn)在應(yīng)該聽起來沒那么陌生了。事實(shí)上，我們所處的三維歐幾里得空間（R3）、經(jīng)典力學(xué)的相空間和構(gòu)造廣義相對論時空模型的四維偽黎曼流形（Pseudo-Riemannian manifold）都是流形的實(shí)例。神經(jīng)元與神經(jīng)元之間，也可以組成這樣的一個拓?fù)淇臻g。比如筆者記錄到200個神經(jīng)元的活動，就可以組成一個R200空間，而這個空間的每個軸都代表著一個神經(jīng)元。

? ? ? ?相信小時候，我們每個人對地球都有過相同的一個誤解——覺得地球是平的。這是因?yàn)槲覀兠刻旎顒拥姆秶鷮τ诘厍騺碚f太小了，所以我們眼中地球看起來就是個平面。而長大后，看到宇航員在地球之外傳回來的自拍，從背景中就可以知道，地球?qū)嶋H上是類似球體的存在。而之所以小時候我們會產(chǎn)生誤解，是因?yàn)榈厍虻拿恳粋€無限小的地方，都是一個小平面，有點(diǎn)類似于高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是任意一點(diǎn)都可以被直線相切。于是乎，如果我們沒有離開地球拍照的話，地球就算是下圖中的某種形狀，理論上來說我們也感知不到——因?yàn)樗麄兊暮暧^形狀雖然并不一樣，但是都可以被劃分成很多個小小的方形平面。這樣就比較形象地解釋了流形的含義。我們剛才提到的球形，以及下圖中五花八門的形狀，也都是流形。

? ? ? ?如果說筆者的人生是由火鍋定義，那么對于流形來說，定義她的概念就是維度（dimension），其實(shí)還有個定義概念叫g(shù)enus of a torus，但筆者不知道這個怎么翻譯，所以先按下不表（嘻嘻）。因?yàn)槠邢蓿覀冎攸c(diǎn)來講一下維度這個概念。每個流形都是由嵌入流形（embedding dimension）和內(nèi)在流形（intrinsic dimension）兩部分組成。嵌入流形是指這個流形所在的歐幾里得空間，而內(nèi)在流形則指的是流形自身需要幾個變量來定義其中每個點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是我們常說的自由度。如果說地球是三維的嵌入流形，它同時也是二維的內(nèi)在流形，因?yàn)槿魏我粋€點(diǎn)都可以被經(jīng)度和緯度兩個指標(biāo)定義。

? ? ? ?這個概念大大地拯救了計(jì)算神經(jīng)科學(xué)家們，因?yàn)殡m然采集的數(shù)據(jù)是成百上千的神經(jīng)元活動組成的Rn嵌入流形，但通過主成分分析（principle component analysis, PCA）和因子分析（factor analysis, FA）等降維方法，我們可以把高維神經(jīng)元維度轉(zhuǎn)化為低維的內(nèi)在流形來研究信息的嵌入。如果一個R200的嵌入流形是維度為一的內(nèi)在流形，那就說明雖然這個流形存在于一個非常難以解釋的空間，但是流形本身卻非常簡單。是不是有一種感覺像是夜空中最亮的星，貧民窟里的百萬富翁，誤入女兒國的唐三藏或者被六大門派圍攻的張無忌……當(dāng)然，這一切能夠成立，都是因?yàn)樯窠?jīng)元彼此之間高度相互關(guān)聯(lián)且重復(fù)的。

? ? ? ?在弄懂流形的定義之后，我們接下來看看它在神經(jīng)科學(xué)領(lǐng)域的興起過程以及對整個領(lǐng)域看待神經(jīng)活動的角度造成的“核彈”影響。大概70年前，神經(jīng)科學(xué)家們就開始記錄和研究單個神經(jīng)元的功能活動。從第一個在清醒猴子的大腦運(yùn)動皮層中記錄單個神經(jīng)元的Ed Evarts[1]開始，到研究決策行為中單個神經(jīng)元活動的Will Newsome[2]，幾十年來，人們從各個腦區(qū)中記錄到了神經(jīng)系統(tǒng)無數(shù)最基礎(chǔ)組成元件的功能活動。但是，人們從最開始亦可賽艇的狀態(tài)漸漸地冷靜下來，意識到只研究單個神經(jīng)元不足以理解大腦的高級功能活動。以運(yùn)動領(lǐng)域的研究為例，早期基于單個神經(jīng)元的研究大部分都只是揭露了單個神經(jīng)元活動和運(yùn)動相關(guān)的不同參數(shù)之間的關(guān)系，比如運(yùn)動過程中的肌肉力、關(guān)節(jié)位置、運(yùn)動方向等等[1,3,4]，但是這些信息并不能幫助我們理解運(yùn)動皮層如何產(chǎn)生和控制運(yùn)動過程[5]。

? ? ? ?顯然，從單個神經(jīng)元的活動并不能幫助我們理解一群神經(jīng)元組成的神經(jīng)群體間的相互作用。不過請注意，這里談及的群體間的相互作用，跟傳統(tǒng)意義上的群體神經(jīng)元解碼（neural population decoding）是不一樣的。早在1982年，Georgopoulos就研究了群體神經(jīng)元活動和運(yùn)動參數(shù)之間的關(guān)系[6]，但這樣的神經(jīng)元群體活動不包括個體神經(jīng)元間相互作用的動態(tài)的（neural dynamics）。隨著科技的進(jìn)步，從一次只能記錄到幾十個神經(jīng)元的電極探頭和電極陣列，到現(xiàn)在包括哥大的Michael Shadlen、斯坦福的Tirin Moore、伯克利的Joni Wallis等實(shí)驗(yàn)室都率先嘗試使用的一次能記錄成百上千個神經(jīng)元活動的猴用高密度神經(jīng)探針（如Primatepixel等探針），能夠記錄到的神經(jīng)元呈指數(shù)級增長，為人們理解神經(jīng)系統(tǒng)如何在神經(jīng)群體級別規(guī)劃和執(zhí)行運(yùn)動鋪平了道路。

? ? ? ?談回今天幸福的筆者，從做重復(fù)性動作的小猴子身上記錄到一大群神經(jīng)元活動。在分析這些神經(jīng)元的活動時，就可以產(chǎn)生兩種解讀：一種是，單個神經(jīng)元在某一時刻的脈沖頻率代表了這個神經(jīng)元對于不同的運(yùn)動特征的編碼，比如運(yùn)動速度或者目標(biāo)位置。而另一種解讀則認(rèn)為，神經(jīng)系統(tǒng)的運(yùn)動中樞更可能是一種動力系統(tǒng)，其中單個神經(jīng)元活動并不是編碼不同的運(yùn)動特征，而是通過與其他單個神經(jīng)元的組成的神經(jīng)群體發(fā)出并控制運(yùn)動。也就是說，我們的目光應(yīng)該從單個神經(jīng)元轉(zhuǎn)移到相互作用的一組神經(jīng)元上。雖然筆者記錄到了200個神經(jīng)元的活動，但如果把其當(dāng)成一個整體來看，考慮到神經(jīng)元之間的高度關(guān)聯(lián)和重復(fù)，在分析時自然而然就會考慮進(jìn)行降維處理。

? ? ? ?事實(shí)也正是如此，前人也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，大腦只需要極低數(shù)量級的幾個獨(dú)立信號，就可以實(shí)現(xiàn)對運(yùn)動的控制。比如早在2009年，研究者發(fā)現(xiàn)在一個三維的低維空間里，人們就能分辨出前運(yùn)動皮層手臂區(qū)域的群體神經(jīng)元在準(zhǔn)備時間的活動曲線[7]。這些控制指定行為所需要的獨(dú)立神經(jīng)信號互不相關(guān)，也叫做潛在變量（latent variables）[8]。因?yàn)樗鼈儾⒉皇侵苯佑^察記錄到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而是經(jīng)過降維處理后產(chǎn)生的。

? ? ? 下面的示意圖假定了一個最極端簡單的情況，能幫助我們更清晰地理解這個重要概念。X-Y-Z三個軸（即圖中N1, N2, N3）分別代表記錄到三個神經(jīng)元的功能活動，三者間形成了一個三維的神經(jīng)元活動空間。而通過降維，我們可以將其隨著時間變化的群體神經(jīng)元活動，也就是圖中所示的黑色曲線，簡化到位于u1，u2兩個張量形成的一個二維表面里，也就是一個相對于三維來說更低維的神經(jīng)空間。這兩個互不相關(guān)的張量叫做神經(jīng)模態(tài)（neural mode）, 他們隨著時間變化的活動也就是潛在變量。于是，這兩個潛在變量的線性組合就可以描述三個神經(jīng)元的群體活動。當(dāng)然，真正的神經(jīng)流形也可能不是圖2A所示的超平面，而是與之同胚，圖2B所示的藍(lán)色曲面。不過顯而易見，我們用線性方法處理產(chǎn)生的平面空間其實(shí)也已經(jīng)抓住了這個非線性空間的主旨。當(dāng)然，如果涉及復(fù)雜的行為，大面積不同的腦區(qū)活動都會參與其中，此時平面的流形近似可能就不再準(zhǔn)確。于是，使用非線性的降維手段則會提供更準(zhǔn)確的神經(jīng)流形，具體方法如局部先行嵌入（locally linear embedding）、等距特征映射（isomap）、或者自編碼器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（autoencoder neural network）等。

? ? ? ?如上所述，我們對大腦運(yùn)動皮層做神經(jīng)動力學(xué)分析，就可以不再探索高維神經(jīng)空間，而是探索其中由神經(jīng)模態(tài)所張成的低維流形。低維流形可以捕捉神經(jīng)變異性（variability），其存在從某種程度上來說也是對皮層活動的一種約束。就好比在三維空間里提筆寫字時，無法寫到空間里的任何一個地方，而只能寫在這個空間里的一張二維的白紙上。

? ? ? ?通過前面的介紹，相信各位讀者已經(jīng)大致對神經(jīng)流形有了初步認(rèn)識，知曉了其產(chǎn)生的研究背景和發(fā)展歷程，自然也會理解降維處理能夠幫助我們認(rèn)識復(fù)雜的神經(jīng)活動。在下一篇文章中，筆者將會帶領(lǐng)大家從近年來的研究中領(lǐng)略神經(jīng)流形的魅力。

·封面來源·

arXiv:2103.02663v1

·文章插圖·

圖1 https://bjlkeng.github.io/posts/manifolds/

圖2 參考文獻(xiàn)[5]

·參考文獻(xiàn)·

1. Evarts, E. V. (1968). Relation of pyramidal tract activity to force exerted during voluntary movement.?Journal of neurophysiology,?31(1), 14-27.

2. Newsome, W. T., Britten, K. H., & Movshon, J. A. (1989). Neuronal correlates of a perceptual decision.?Nature,?341(6237), 52-54.

3. Humphrey, D. R., Schmidt, E. M., & Thompson, W. D. (1970). Predicting measures of motor performance from multiple cortical spike trains.?Science,?170(3959), 758-762.

4. Thach, W. T. (1978). Correlation of neural discharge with pattern and force of muscular activity, joint position, and direction of intended next movement in motor cortex and cerebellum.?Journal of neurophysiology,?41(3), 654-676.

5. Gallego, J. A., Perich, M. G., Miller, L. E., et al. (2017). Neural manifolds for the control of movement.?Neuron,?94(5), 978-984.

6. Georgopoulos, A. P., Kalaska, J. F., Caminiti, R., et al. (1982). On the relations between the direction of two-dimensional arm movements and cell discharge in primate motor cortex.?Journal of Neuroscience,?2(11), 1527-1537.

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8. Churchland, M. M., Cunningham, J. P., Kaufman, M. T., et al. (2012). Neural population dynamics during reaching.?Nature,?487(7405), 51-56.