1.布里淵區(qū)的高對稱點(diǎn)

能帶圖的橫坐標(biāo)是在模型對稱性基礎(chǔ)上取的K 點(diǎn)。為什么要取K 點(diǎn)呢?因?yàn)榫w的周期性使得薛定i號方程的解也具有了周期性。按照對稱性取K 點(diǎn)，可以保證以最小的計(jì)算量獲得最全的能量特征解。能帶圖橫坐標(biāo)是K 點(diǎn)，其實(shí)就是倒格空間中的幾何點(diǎn)。其中最重要也最簡單的就是（有的文獻(xiàn)中也標(biāo)為G) 那個點(diǎn)，因?yàn)檫@個點(diǎn)在任何幾何結(jié)構(gòu)中都具有對稱性。所以在CASTEP 里，有個最簡單的K 點(diǎn)選擇，就是那個gamma 選項(xiàng)?？v坐標(biāo)是能量，那么能帶圖就表示了研究體系中，各個具有對稱性位置的點(diǎn)的能量。我們所得到的體系總能量，就是整個體系各個點(diǎn)能量的加和。

如前所述， 一維周期條件下的布里淵區(qū)的能帶是一條線。如果加上二維（x， y) 的周期邊界條件，這些能帶又會變成什么樣呢?答案是一個面，由原來的線組成一個面。接下來討論，布里淵區(qū)里面的高對稱點(diǎn)（r，x， F， M 等)是怎么來的。

因?yàn)樵谝痪S情況下用一條能帶來表示k 矢量(對稱操作)和能級的關(guān)系，用E(k)來表示， 這構(gòu)成第一布里淵區(qū)c ep k 的取值范圍[葉。對于二維周期體系，需要兩個平移矢量kx和ky，所以能帶可以用E(kx，ky)來表示，當(dāng)kx=0 時(shí)，變成E(0，ky）得到一條能帶（y 方向上與一維周期情況的能帶類似);當(dāng)ky = 0 時(shí)，變成E(kx，0) ，得到一條能帶。由于ι 和鳥是矢量，它們可以組合成另外一個矢量，這個矢量不是沿著X軸，也不是沿著Y 軸。實(shí)際上沿著該矢量仍是能夠得到一個能帶的，這樣的矢量有很多，所有的這些能帶將構(gòu)成一個面。如果在作能帶結(jié)構(gòu)圖的時(shí)候，將能帶結(jié)構(gòu)按照二維的面畫出來是很困難的，而三維的情況更加困難。因?yàn)閷ΨQ操作有很多， k 矢量的取值有很多，所以一個可行的辦法就是讓k的取值沿著一定的路徑走，最后回到起點(diǎn)，如圖4.10（二維情況)。

這樣，只要選擇一些較高的對稱點(diǎn)，就可以確定這個路徑。比如二維的布里淵區(qū)是一個面，這個面上每一點(diǎn)與原點(diǎn)cr 點(diǎn))的連線都構(gòu)成一個k 矢量，有一個k 矢量就有一個能級E(的對應(yīng)。所以，二維的能帶結(jié)構(gòu)是這個布里淵區(qū)上的一個平面(面積)，如圖4.10所示。按照r→X→M→r 這個路徑走，就可以得到一個可以大致反映布里淵區(qū)上的能帶平面的一個近似圖，這就是二維的能帶結(jié)構(gòu)。具體的能帶圖的展開如圖4.11 所示。

三維的能帶展開如圖4.12 所示。