先從最簡單的力的分解開始：

從圖1中我們看到，一個(gè)力分解以后，給了我們這樣一個(gè)映像：余弦函數(shù)好像是和正弦函數(shù)相互垂直的（F1在X軸，F(xiàn)2在Y軸）。由此出發(fā)，我們得出了傅里葉級(jí)數(shù)的分解：

正弦余弦函數(shù)滿足的圖3中的關(guān)系，我們就認(rèn)為它們是垂直的（正交），因?yàn)閄軸與Y軸垂直也是人為定義的。那么，參照?qǐng)D1，我們可以認(rèn)為cosnx(n是變化的)與X軸相似，sinnx與Y軸相似。我們還注意到，不同的n，相同的余弦函數(shù)相互之間也是正交的，正弦函數(shù)也一樣。也就是說，同樣的X軸，還存在著相互正交的n不相同的余弦函數(shù)。這就是所謂的正交空間。正是因?yàn)橛辛藞D3中的那些正交關(guān)系，我們才能夠順利地求出圖2中傅里葉級(jí)數(shù)的那些系數(shù)

an。

現(xiàn)在，我們引入小波函數(shù)：

圖4的小波函數(shù)中，存在著兩個(gè)變量：縮放變量a和平移變量

按照傅里葉級(jí)數(shù)中正交空間的理解，不同的縮放變量會(huì)生成不同的函數(shù)，這些函數(shù)間相互正交；不同的平移變量也會(huì)生成不同的函數(shù)，這些函數(shù)間同樣相互正交。同時(shí)，兩個(gè)不同的變量生成的函數(shù)之間也相互之間。這就是小波分解的最初思想。

那么，有了傅里葉變換，為什么又要有小波變換呢？

首先，圖5中的小波函數(shù)，只是在很短的時(shí)間內(nèi)（橫軸）有非0值，這也是小波名稱的由來。

我們對(duì)照?qǐng)D6和圖7 的傅里葉變換和小波變換的表達(dá)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)小波變換的核函數(shù)

在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)都有非零值，而小波函數(shù)則不是。這種特性會(huì)導(dǎo)致傅里葉變換在處理某些突變信號(hào)或者其它情況的時(shí)候產(chǎn)生不理想的效果。具體可參閱網(wǎng)絡(luò)其它文章。

圖8表示，通過小波平移，對(duì)于一個(gè)變化的信號(hào)，我們可以得出更理想的結(jié)果。因?yàn)閺膱D6

圖7我們可以看出，無論傅里葉變換還是小波變換，都是用待變換的函數(shù)f(t)和核函數(shù)相乘，類似于求它們的相關(guān)系數(shù)。

再看圖9，小波經(jīng)過縮小以后（由下往上），讓縮小了的小波函數(shù)去和一個(gè)函數(shù)值變化較大的地方相乘從而得出它們的相關(guān)系數(shù)，這種方法明顯要更好一些，因?yàn)楦芊直娉龊瘮?shù)的變化細(xì)節(jié)。

圖10是一個(gè)具體的Haar小波。

圖11表示，Haar小波經(jīng)過平移和縮放以后會(huì)產(chǎn)生正交空間。

有了這些基本概念以后，我們接著只要搞清楚如何尋找基本基函數(shù)，如何分析它們生成的正交空間就可以了。