歐拉角旋轉
歐拉角是一種表示三維旋轉的描述方法，歐拉角的計算需要借助旋轉矩陣，關于旋轉矩陣的知識可先參考前兩篇文章：
靜態(tài)定義
對于在三維空間里的一個參考系，任何坐標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現(xiàn)。
參考系又稱為實驗室參考系，是靜止不動的，可以先簡單的理解理解為大地坐標系，也稱慣性坐標系。
坐標系則固定于剛體，隨著剛體的旋轉而旋轉，比如飛行器自身的坐標系，也稱載體坐標系。
如上圖為一種ZYZ順序旋轉的歐拉角示意圖：
設藍色的xyz-軸為慣性系的參考軸，即大地坐標系的3個軸。
設紅色的XYZ軸為載體系的參考軸，即飛行器坐標系的3個軸。
稱xy-平面與XY-平面的相交為交點線，用英文字母N表示。
圖中的角度符號：
α是x-軸與交點線的夾角，載體坐標系先繞Z軸旋轉了α角度（范圍0~2Pi弧度）。β是z-軸與Z-軸的夾角，載體坐標系又繞當前的Y軸旋轉了β角度（范圍0~Pi弧度）。γ是交點線與X-軸的夾角，載體坐標系又繞當前的Z軸旋轉了γ角度（范圍0~2Pi弧度）。這里角度的正負是按照右手定則，如右手大拇指指向z-軸，四指彎曲的旋轉方向為α正方向。
其旋轉動畫為：
實際上，對于夾角的順序和標記，夾角的兩個軸的指定，并沒有明確的規(guī)定。因此當用到歐拉角時，需要明確地表示出夾角的順序，指定其參考軸。合法的歐拉角組中，唯一的限制是，任何兩個連續(xù)的旋轉，必須繞著不同的轉動軸旋轉。因此，一共有12種表示。
6種繞三條軸的旋轉（Tait-Bryan Angle）：XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX
6種只繞兩條軸的旋轉（Proper Euler Angle）：XYX, YXY, XZX, ZXZ, YZY, ZYZ
動態(tài)定義
我們也可以給予歐拉角兩種不同的動態(tài)定義。一種是繞固定于載體的坐標軸的三個旋轉的復合；另外一種是繞大地坐標系參考軸的三個旋轉的復合。
用動態(tài)的定義，我們能更了解，歐拉角在物理上的含義與應用。
注意，以下的描述, 大寫字母XYZ坐標軸是旋轉的載體坐標軸；小寫字母xyz坐標軸是靜止不動的大地參考軸。
現(xiàn)在以旋轉順序依次是Z、Y、X的方式來描述歐拉角的兩種動態(tài)定義。
定義A：繞著XYZ坐標軸旋轉（載體坐標軸）：
開始，繞著Z-軸旋轉α角度。
然后，繞著Y-軸旋轉β角度。
設任何一點P1在xyz與XYZ坐標系統(tǒng)的坐標分別為r1與R1。定義Z(α)為繞著Z-軸旋轉α角度，Y(β)為繞著Y-軸旋轉β角度，X(γ)為繞著X-軸旋轉γ角度。則定義A可以表述如下：
注意這里又有矩陣左乘與右乘的概念，繞載體坐標系旋轉是矩陣依次左乘，即X <- Y <- Z。
定義B：繞著xyz坐標軸旋轉（大地坐標軸）：
最初，兩個坐標系統(tǒng)xyz與XYZ的坐標軸都是重疊的。
開始，繞著z-軸旋轉α角度。
然后，繞著y-軸旋轉β角度。
最后，繞著x-軸旋轉γ角度。
設任何一點P2在xyz與XYZ坐標系統(tǒng)的坐標分別為r2與R2。定義z(α)為繞著z-軸旋轉α角度，y(β)為繞著y-軸旋轉β角度，x(γ)為繞著x-軸旋轉γ角度。則定義B可以表述如下：
注意繞大地坐標系旋轉是矩陣依次右乘，即z -> y -> x。
定義A與靜態(tài)定義的相等，這可以直接用幾何制圖方法來核對。
定義A與定義B的相等可以用旋轉矩陣來證明：
