第二部分 微分流形上的微分學(xué)

微分流形上的微分學(xué)，主要包含兩部分內(nèi)容：

（1）微分流形的定義與事例

（2）微分流形上的微分算子與其間的關(guān)系

（1）微分流形的定義與事例

1.?微分流形的定義

2.?邊界流形

（2）切向量 余切向量 張量

1. 切向量

按 算子觀點(diǎn) 引入 切向量

基于 多元函數(shù)的Hadamarder表示，結(jié)合 切向量的算子定義，獲得 切向量的表達(dá)形式，需要基于具體的局部歐氏化

獲得 切空間中基向量、切向量分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系

2.?余切向量

按 算子觀點(diǎn) 引入 余切向量

按對(duì)偶觀點(diǎn)，獲得 余切向量的表達(dá)形式，需要基于具體的局部歐氏化

獲得 余切空間中基向量、余切向量分量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系

3. 張量

按多重線性函數(shù)的形式，引入 張量

基于切向量、余切向量的表達(dá)形式，結(jié)合 簡(jiǎn)單張量，獲得 張量的表達(dá)形式

（3）Lie導(dǎo)數(shù)

1. 極限定義與分析

類(lèi)似連續(xù)介質(zhì)構(gòu)型構(gòu)造的做法，引入?微分流形上運(yùn)動(dòng)的刻畫(huà)

按微分同胚的觀點(diǎn)，引入 推前基與拉回基

按物質(zhì)導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)，引入 Lie導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明 Lie導(dǎo)數(shù)不同與物質(zhì)導(dǎo)數(shù)

基于可微性，進(jìn)行極限分析

2. 作用性質(zhì)

Lie導(dǎo)數(shù)作用于函數(shù)、切向量、余切向量

Lie導(dǎo)數(shù)作用于分量

注：我們首先基于極限分析獲得Lie導(dǎo)數(shù)的分量表達(dá)式，然后基于分量表達(dá)式獲得Lie導(dǎo)數(shù)的作用形式。

（4）外微分

1. 定義與性質(zhì)

直接按定義的形式，獲得外形式外微分的分量表達(dá)式

基于外形式外微分的分量表達(dá)式，獲得外微分的基本性質(zhì)

2. 算子之間的關(guān)系

推前-拉回運(yùn)算與外微分的可交換性

引入里積運(yùn)算

Lie導(dǎo)數(shù)與外微分的可交換性

基于數(shù)學(xué)歸納法，證明 同倫公式

同倫公式證明的相關(guān)注釋

3.?外微分的作用形式

基于數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)合 同倫公式，獲得 外微分的作用形式

注：微分流形上的 代數(shù)運(yùn)算：外積、里積、推前與拉回；微分運(yùn)算：外微分、Lie導(dǎo)數(shù)。一方面，需要掌握各個(gè)運(yùn)算的作用形式、分量形式；另一方面需要掌握這些運(yùn)算之間的關(guān)系。