根據(jù)雙篩法及素數(shù)定理可進(jìn)一步推得：r2（N）=（N/2)∏mr≥[N/(lnN )^2??]≥1

證明：

對于共軛互逆數(shù)列A、B:

A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝

B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

顯然N=A+B

根據(jù)埃氏篩法獲得奇素數(shù)集合{Pr}：

｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<√N

為了獲得偶數(shù)N的(1+1)表法數(shù)，按照雙篩法進(jìn)行分步操作：

第1步：將互逆數(shù)列用3雙篩后得到真實剩余比m1

第2步：將余下的互逆數(shù)列再用5雙篩后得到真實剩余比m2

第3步：將余下的互逆數(shù)列再用7雙篩后得到真實剩余比m3

…

依次類推到：

第r步：將余下的互逆數(shù)列再用Pr雙篩后得到真實剩余比mr

這樣就完成了對偶數(shù)N的求雙篩法（1+1）表法數(shù)，根據(jù)乘法原理有：

r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr

即r2(N)=(N/2)∏mr

例如：

[√70]=8，{Pr}={1,3,5,7},

3|/70，首先這35個奇數(shù)用3雙篩后得到剩余13個奇數(shù)，則其真實剩余比：m1=13/35

5|70, 剩余的13個奇數(shù)再用5雙篩剩余10個奇數(shù)，則其真實剩余比：m2=10/13

7|70,??剩余的10個奇數(shù)再用7雙篩剩余10個奇數(shù)，則其真實剩余比：m3=10/10

根據(jù)真值公式得：

r2(70)

=(70/2)*m1*m2*m3

=35*13/35*10/13*10/10

=10

r2(70)=10

分析雙篩法r2(N)的下限值：

雙篩法本質(zhì)上第一步:先對A數(shù)列篩選，根據(jù)素數(shù)定理，A中至少有[N/lnN??]≥1個奇素數(shù)，

即此時的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[ N/lnN??]個奇素數(shù)

第二步:再對B數(shù)列進(jìn)行篩選，篩子是相同的1/lnN??

則根據(jù)乘法原理由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:r2(N)≥[N/(lnN )^2 ]≥1個奇素數(shù)。

例如：30第一步:先對A數(shù)列篩選，A中至少有[ N/lnN ]=[30/ln30 ]=8個奇素數(shù),而π(30)=10

即此時的共軛互逆數(shù)列AB中至少有[N/lnN??]=[30/ln30 ]=8個奇素數(shù)。

A????1????3????5????7????9????11????13????15????17????19????21????23????25????27????29

B????29????27????25????23????21????19????17????15????13????11????9????7????5????3????1

第二步:再對B數(shù)列進(jìn)行篩選，篩子是相同的??, 由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:

r2（30）≥[30/(ln30 )^2 ]=2個奇素數(shù),而r2(30)=8

A????1????3????5????7????9????11????13????15????17????19????21????23????25????27????29

B????29????27????25????23????21????19????17????15????13????11????9????7????5????3????1

故:r2（N）=（N/2)∏mr≥[ N/(lnN )^2??]≥1個奇素數(shù)

運用數(shù)學(xué)歸納法證明：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和

崔坤

中國青島即墨，266200，

摘要:數(shù)學(xué)家潘承洞25歲時提出：“我們可以把這個問題反過來思考, 已知奇數(shù)N可以表成三個素數(shù)之和， 假如又能證明這三個素數(shù)中有一個非常小，譬如說第一個素數(shù)可以總?cè)?， 那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想?！保钡?013年才有秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德賀歐夫格特徹底證明了三素數(shù)定理。

關(guān)鍵詞:三素數(shù)定理，奇素數(shù)，加法交換律結(jié)合律

中圖分類號：O156 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

證明：

根據(jù)2013年秘魯數(shù)學(xué)家哈羅德·賀歐夫格特（Harald Andrés Helfgott）

已經(jīng)徹底地證明了的三素數(shù)定理：每個大于等于9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和，

每個奇素數(shù)都可以重復(fù)使用。它用下列公式表示：Q是每個≥9的奇數(shù)，奇素數(shù)：q1≥3，q2≥3，q3≥3，則Q=q1+q2+q3 根據(jù)加法交換律結(jié)合律，不妨設(shè)：q1≥q2≥q3≥3，則有推論：Q=3+q1+q2，

即每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和。

我們運用數(shù)學(xué)歸納法做如下證明：

給出首項為9，公差為2的等差數(shù)列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}

Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素數(shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Qn≥9，n為正整數(shù)）

數(shù)學(xué)歸納法：第一步：當(dāng)n=1時 ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立

第二步：假設(shè) ：n=k時，Qk=3+qk1+qk2，奇素數(shù)：qk1≥3，qk2≥3,成立。

第三步：當(dāng)n=k+1時,Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2

即：Q（k+1）=5+qk1+qk2,

即任一個大于等于11的奇數(shù)都是5+兩個奇素數(shù)之和，

從而若偶數(shù)N≥6,則N=qk3+qk4，奇素數(shù)：qk3≥3，qk4≥3

當(dāng)N≥8時：N+3=Q（k+1）=3+qk3+qk4

即Q（k+1）=3+qk3+qk4,奇素數(shù)：qk3≥3，qk4≥3

綜上所述，對于任意正整數(shù)n命題均成立，

即：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和

同時，每個大于等于11的奇數(shù)Q=3+p1+p2=5+p3+p4,(p1,p2,p3,p4均為奇素數(shù)）結(jié)論：每個大于等于9的奇數(shù)都是3+兩個奇素數(shù)之和，Q=3+q1+q2，

（奇素數(shù)q1≥q2≥3，奇數(shù)Q≥9）

參考文獻(xiàn)：

[1]Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]

[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]