哥猜表法數(shù)r2(N)下限值函數(shù)是增函數(shù)

崔坤

中國青島即墨，E-mail:cwkzq@網(wǎng)頁鏈接?摘要:

建立共軛互逆的等差數(shù)列A和B，根據(jù)埃氏篩法運用Pr集合里的每個獨立元素分別按序對A和B數(shù)列雙篩，

得到真值公式r2(N)＝（N／2）∏mr，然后對其下限值估計，根據(jù)素數(shù)定理最終得到：

r2(N)＝（N／2）∏mr

≥N/(lnN)^2，偶數(shù)N≥6,進而推得：哥猜表法數(shù)r2(N)下限值函數(shù)是增函數(shù)。

關鍵詞：

共軛互逆等差數(shù)列，埃氏篩法，素數(shù)定理，表法數(shù)r2(N)，素數(shù)，真實剩余比，

中圖分類號：O156 文獻標識碼：A

證明：

對于共軛互逆數(shù)列A、B:

A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝

B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

顯然N=A+B，偶數(shù)N≥6

根據(jù)埃氏篩法獲得奇素數(shù)集合{Pr}：

｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<√N

為了獲得偶數(shù)N的(1+1)表法數(shù)r2(N)，按照雙篩法進行分步操作：

第1步：將互逆數(shù)列用3雙篩后得到真實剩余比m1

第2步：將余下的互逆數(shù)列再用5雙篩后得到真實剩余比m2

第3步：將余下的互逆數(shù)列再用7雙篩后得到真實剩余比m3

…

依次類推到：

第r步：將余下的互逆數(shù)列再用Pr雙篩后得到真實剩余比mr

這樣就完成了對偶數(shù)N的求雙篩法（1+1）表法數(shù)r2(N)，

由于運用Pr集合中的每個元素進行的篩選都是獨立的，故是獨立事件，

則根據(jù)乘法原理有：

r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr;

即r2(N)=(N/2)∏mr

例如：70，[√70]=8，{Pr}={1,3,5,7},

3|/70:首先這35個奇數(shù)用3雙篩后得到剩余13個奇數(shù)，則其真實剩余比：m1=13/35

5|70:剩余的13個奇數(shù)再用5雙篩剩余10個奇數(shù)，則其真實剩余比：m2=10/13

7|70:剩余的10個奇數(shù)再用7雙篩剩余10個奇數(shù)，則其真實剩余比：m3=10/10

根據(jù)真值公式得：r2(70)=(70/2)*m1*m2*m3=35*13/35*10/13*10/10=10

r2(70)=10

顯見公式r2(N)=(N/2)∏mr是從微觀上給出了偶數(shù)的1+1表法數(shù)r2(N)的，

那么從宏觀上我們分析r2(N)=(N/2)∏mr的下限值：

雙篩法本質上：

第一步:先對A數(shù)列篩選，根據(jù)素數(shù)定理，

A中至少有N/lnN≥1個奇素數(shù)，即獲得素數(shù)的比例至少是1/lnN;

第二步:再對B數(shù)列進行篩選，根據(jù)素數(shù)定理,

B中也至少有N/lnN≥1個奇素數(shù)，即獲得素數(shù)的比例至少是1/lnN；

那么要獲得共軛數(shù)列AB中的素數(shù)對的比例至少是：（1/lnN）*（1/lnN）

則由此推得共軛數(shù)列AB中至少有:

r2(N)=(N/2)∏mr≥N*（1/lnN）*（1/lnN）=N/(lnN)^2

即：r2(N)=(N/2)∏mr

≥N/(lnN)^2，

N≥8時，取r2(N)的下限值函數(shù)f(N)=N/(lnN)^2是增函數(shù)。

證明：

對于r2(N)的下限值函數(shù)f(x)=x/(lnx)^2取導，

則：

f'(x)=[x/(lnx)^2]'

=[（lnx)^2-x*2（lnx）*(1/x)]/(lnx)^4

=[(lnx)^2-2lnx]/(lnx)^4

=(lnx-2)/(lnx)^3

即f'(x)=(lnx-2)/(lnx)^3

當x≥8時，lnx>0,

lnx-2≥ln8-2≥2.079-2>0

也就是此時：f'(x)>0

即對于函數(shù)f(x)是嚴格單調增大

結論：哥猜表法數(shù)r2(N)下限值函數(shù)是增函數(shù)，如果對其取整，那么它就是不減函數(shù)。

參考文獻：王元，《談談素數(shù)》，哈爾濱工業(yè)大學出版社，2011-3