（錄制的視頻在： https://www.bilibili.com/video/BV1m14y1Y7wz/）??

我們做信號(hào)處理或者做數(shù)字通信的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)用到離散傅立葉變換，而離散傅立葉變換中，對(duì)每個(gè)離散的點(diǎn)，我們看到的都是下標(biāo)（第幾個(gè)點(diǎn)，即 index），例如，我們對(duì)時(shí)域中 256 個(gè)采樣點(diǎn) 做離散傅立葉變換，我們只是知道下標(biāo) 0,1,2... 等等，轉(zhuǎn)到頻域后，我們也是拿到 256 個(gè)頻域信息，我們用大寫(xiě)的字母來(lái)表示頻域信息，則我們拿到 。而我們有時(shí)候是關(guān)心頻域中的? 這個(gè)是對(duì)應(yīng)哪個(gè)真實(shí)頻率的，即是多少赫茲的頻率下的？本篇短文用淺顯易懂的文字來(lái)說(shuō)明一下這個(gè)事情。

?? 我們知道，在連續(xù)傅立葉變換中，是有真實(shí)的頻率信息的，下面是連續(xù)傅立葉變換的公式：

? 我們很容易看到，上面公式中的 f? 就是實(shí)際的頻率，例如，我們關(guān)心 100Hz (Hz：赫茲) 頻率下的信息，則把? f=100? 代入上式：

不失一般性，我們假如拿到 N 個(gè)離散的時(shí)域信號(hào)，我們知道，可以用下面的離散傅立葉變換公式來(lái)計(jì)算頻域的信息：

我們可以很容易猜測(cè)，上面公式中的? 就隱含了頻率的信息，那么如何才能得到頻率信息呢？

這里，必需要先知道，我們拿到的離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，是按照什么樣的采樣率采集得到的，例如一秒鐘采集 1000 個(gè)點(diǎn)，則采樣率就是 1000，我們用? 來(lái)表示采樣率，表示一秒鐘采集了 ? 個(gè)樣點(diǎn)。

則公式 (1) 中的 n，就可以轉(zhuǎn)成具體的時(shí)間，即 ，這個(gè)時(shí)間單位就是秒，可以理解為是連續(xù)傅立葉變換公式中的 t .

那么在公式(1) 中，把 n 除以了 ，為了保持恒等，我們可以在? 中乘以一個(gè) ，則?? 變成? ，結(jié)合上面的討論，可以把公式(1) 改寫(xiě)成如下形式：

仔細(xì)打量公式(2)，式子中的

???? 等同于連續(xù)傅立葉變換中的時(shí)間 t

?? 等同于連續(xù)傅立葉變換中的頻率 f

連續(xù)傅立葉變換中的頻率 f 是連續(xù)的，而離散傅里葉變換中的頻率則是離散的，相鄰的兩個(gè)頻率點(diǎn)分別為：???? 和????? .? 因此，離散傅立葉變換中，最小的頻率間隔就是 .



下面舉個(gè)例子：假如采樣率為? 25600赫茲，我們連續(xù)采樣 256 個(gè)數(shù)據(jù)來(lái)做離散傅立葉變換，則變換到頻域后，我們能看到的最小頻率間隔為 ，即 100赫茲。如果采樣前的信號(hào)，頻率是 150赫茲的，則我們可以看到這個(gè)150赫茲沒(méi)有落到100赫茲的整數(shù)倍上，經(jīng)過(guò)離散傅里葉變換后，我們看到150赫茲周?chē)噜彽恼麛?shù)倍的100Hz 上都有信號(hào)，那么，我們這個(gè)采樣之后的頻率分析就不是很準(zhǔn)確，為了提高頻率分析的精度，我們需要在時(shí)間上連續(xù)采樣更多的數(shù)據(jù)，假如采樣 512 個(gè)數(shù)據(jù)，則頻率間隔就變成 ，即 50赫茲，頻率精度就提高了一倍。

補(bǔ)充：

雖然采樣頻率是 ，且 ，但是，不等于頻率范圍是 從 。 根據(jù)那奎斯特采樣定理，我們能采集到的頻率，最大是?

. 所以，能表達(dá)的頻率范圍其實(shí)是：

另外，我們可以從線性空間正交基的角度來(lái)想一下。這些傅立葉變換，其實(shí)是 N 維空間中的變換。其正交基（暫時(shí)忽略單位向量的問(wèn)題，即不考慮是否是單位正交基，即基向量的長(zhǎng)度是否是 1，我們暫時(shí)忽略，感興趣的朋友可以看我有一個(gè)視頻是講? “傅立葉變換前后能量守恒問(wèn)題”）為：

其中：

所以，?? 這個(gè)頻率，對(duì)應(yīng)的是? 這個(gè)頻率. 我們畫(huà)個(gè)圖來(lái)直觀感受一下為什么會(huì)這樣。