你好呀，我是 LStar，一個喜歡數(shù)學的初中女生，歡迎來到三角函數(shù)系列（高一的重頭戲呀哦吼吼）~

在上一篇中，我們已經(jīng)初步了解了弧度制和單位圓，把角的范圍擴展到了全體實數(shù)?！斑B續(xù)” 是一個很好的性質(zhì)，為三角函數(shù)的具體探究打下了基礎(chǔ)。

那么，就讓我們走進三角函數(shù)的世界吧~

【目錄】

一、講解部分

1. 三角函數(shù)的概念

• 例題 1

• 例題 2

2. 三角函數(shù)的性質(zhì)（部分）

• 例題 3

• 例題 4

3. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

• 例題 5

• 例題 6

二、習題部分

1. 三角函數(shù)概念的應用

• 練習 1

• 練習 2

• 練習 3

• 練習 4

2. 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求值

• 練習 5

• 練習 6

• 練習 7

3. 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡

• 練習 8

• 練習 9

4. 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式證明

• 練習 10

• 練習 11

5. 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形（總結(jié)部分，無習題）

6. 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與一元二次方程的綜合

• 練習 12

【講解部分】

一、三角函數(shù)的概念

函數(shù)一般都是在坐標系中定義的，三角函數(shù)也一樣。上一篇中，我們在定義 “1 弧度的角” 的時候用到了單位圓，接下來的具體探究也會用到它~

首先在坐標系中做出一個單位圓，再做出一個任意角 α (α ∈ R)，這個角的終邊與 OP 與單位圓相交于點 P(x,y)，如下圖所示。

我們不妨試一試，改變角的大小（α），讓點 P 在圓周上運動?？梢园l(fā)現(xiàn)，當角 α 唯一確定的時候，它的終邊 OP 與單位圓交點 P 的坐標也是唯一確定的?！獌蓚€“唯一確定”，你想到了什么？

沒錯，函數(shù)呀！點 P 的橫坐標 x，縱坐標 y，都是角 α 的函數(shù)。

“函數(shù)” 先放在這里，我們再來看看 “三角”。

呃，這個圖的環(huán)境可不太好，我們得搞一個三角形出來，放在一個熟悉的圖形環(huán)境中……

過點 P，作 PA ⊥x軸，交 x 軸于點 A。

初中的時候是學過直角三角形中的三角比的，角 α 的正弦（sine）等于它的對邊比斜邊，在上圖中即：PA/OP。

嘿嘿，我覺得你可以已經(jīng)猜到為什么要用單位圓了……OP 是 1 呀，那么角 α 的正弦不就是 PA 嘛，也就是?P 的縱坐標 y?咯（注意，點 P 的正弦是它的縱坐標，而不是線段 PA 的長度，因為正弦可能出現(xiàn)負數(shù)，但長度不會）~

余弦（cosine）是同理的，角 α 的余弦等于它的鄰邊比斜邊，即：OA/OP = OA。也就是點?P 的橫坐標 x（注意，點 P 的余弦是它的橫坐標，而不是線段 OA 的長度，理由同上）。

正切（tangent）也是一樣，角 α 的正切等于它的對邊比鄰邊，即：PA/OA，或者說 y/x。

emmm，不過在正切這里，情況稍微有一點特殊——正弦和余弦都等于某條邊比 OP，反正 OP 不是 0，所以 “某條邊” 長多少都無所謂，但是在 tan 這里。。。萬一分母（OA）是 0 怎么辦？就像下圖這樣：

分母都是 0 了，還怎么玩啊……

好吧，那干脆就不玩了，把這種情況排除掉！

呃但是我們需要分析一下這種情況什么時候會出現(xiàn)。

圖中，角 α = π/2，而只要 α 每增加 π，這種情況就會再次出現(xiàn)（其實就是 OP 和 y 軸重合了嘛），所以 α ≠ π/2+kπ (k ∈ Z)。

綜上，借助坐標系、單位圓和弧度制，三角函數(shù)的定義已經(jīng)出來了：

（對不起但是我必須要用 latex!!! 我實在受不了原生樣式了呃啊啊?。?/p>

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，記為：

(我說我靠 latex 活著你信嗎（（（（真的好看?。?/p>

現(xiàn)在，我們就已經(jīng)完成了銳角三角函數(shù)的推廣啦！現(xiàn)在是任意角的三角函數(shù)了哦！(〃￣︶￣)人(￣︶￣〃)

來做個題練練手？

【例 1】

嘿嘿，你肯定答對啦！

誒，wait，你從三角函數(shù)的定義過程有沒有想到什么…？

——我要是不知道角的終邊和單位圓交點的坐標，但是知道終邊上一個點的坐標，能不能求三角函數(shù)值呀？

嗯，我都這么問了，那當然是可以的啦！

我們先在終邊上隨便找一個點 B (x,y) (xy ≠ 0)，假設(shè)這個點的坐標已知。

仿照定義過程來嘛，過點 B 作一個垂線，與 x 軸交于點 C。

正弦最開始是怎么算的？——對邊比斜邊。

對邊已知，就是 B 的縱坐標 y，所以只要求出斜邊就好啦。

斜邊的話也很簡單，勾股定理，設(shè)斜邊長為 r，則有 r = 根號下 x^2+y^2。

嗯，那么正弦不就 y/r 嘛，同理，余弦和正切也是一樣的~我們有：

這樣就把求三角函數(shù)的條件放寬了一些啦~

再練一下吧，基礎(chǔ)可不能出錯哦~

【例 2】

是不是很簡單！

學完了三角函數(shù)的定義，接著來看看它的性質(zhì)吧！

二、三角函數(shù)的性質(zhì)（部分）

首先放一個表格啦~是三角函數(shù)的定義域和值域，定義域上面已經(jīng)講完了，值域還沒講，但是都先放在這里啦~

通過上表的內(nèi)容，可以求一些和三角函數(shù)相關(guān)的復合函數(shù)的定義域~

【例 3】

我個人覺得，（目前我們所學的）三角函數(shù)的一切都源于一條射線和單位圓之間發(fā)生的故事。這個射線就那么繞著原點轉(zhuǎn)啊轉(zhuǎn)，和單位圓相交上了，就產(chǎn)生了很多美（恐）妙（怖）的東西。。。。

所以這個交點所在的象限（角的終邊所在的象限）很關(guān)鍵??！交點的象限直接決定了三角函數(shù)的正負情況。

先舉個例子，射線 OP 和單位圓交于 P (x,y)，P 在第一象限，即 x>0, y>0, y/x>0，一下子 sin\cos\tan 的正負就都有了。

由定義可知，正弦函數(shù)值的符號取決于?P 縱坐標 y 的符號；余弦函數(shù)值的符號取決于?P 橫坐標 x 的符號；正切函數(shù)值的符號是由 x、y 的符號共同決定的，即 xy?同號時為正，異號時為負。

那就逐一分析吧~

第一象限剛才已經(jīng)說過了，三個函數(shù)的值都是正數(shù)。

第二象限，縱坐標大于 0，橫坐標小于 0，所以 sin 為正，cos 為負，tan 為負。

第三象限，橫縱坐標都小于 0 ，所以 sin 和 cos 都為負，tan 為正。

第四象限，縱坐標小于 0，橫坐標大于 0，所以 sin 為負，cos 為正，tan 為負。

總結(jié)如下圖：

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”

由此可以判斷一些式子的符號，比如：

【例 4】

嗯~說了這么多，讓我們再來看看探究定義的過程……

還是那句話，一切都是由射線 OP（角的終邊）產(chǎn)生的。。。

呃，那如果兩個角的終邊重合了呢？它們的三角函數(shù)值會怎么樣？

還用想嘛！當然都相等啦！

由此可以得到一組公式，就叫它公式一吧。

劇透一下，三角函數(shù)有一組公式——誘導公式（是的我也知道這個名字很奇怪啊不是），這是誘導公式的第一個，呃，一共有。。。六個??，反正我第一次學的時候被它們折磨的不輕。

這組公式可以概括為下面的形式：

這個公式用處可大了，利用它，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求?0-2π 角的三角函數(shù)值。

（所以，0-2π 中一些特殊角的三角函數(shù)值一定要記住哦~）（好吧好吧其實不用，因為通過后面的誘導公式你甚至可以把所有角度都轉(zhuǎn)化成 0-π/4 之間的角度。。）

這個公式是六組誘導公式里最簡單的，練習一下吧~

【例 5】

三、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

其實從三角函數(shù)的定義可以搞出很多東西的……比如，最簡單的一個，sin α/cos α = tan α，直接通過定義得到的。

那 sin 和 cos 之間又有什么關(guān)系呢？還是用之前的圖來看看。

這個圖里，▲OAP 為直角三角形，OP 是斜邊，由勾股定理可得：(OA)^2+(PA)^2 = (OP)^2。

(OA)^2 = (cos α)^2 = cos2α，同理 (PA)^2 = sin2α。

(OP)^2 = 1，所以，sin2α+cos2α = 1。

由上兩個公式可得，同一個角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切。

利用這兩個公式可以求出很多式子的值，也可以證明一些式子，練一個題目吧~

【例 6】

嗯……你看到那個“第二象限”了嘛？（（（我當時做的時候就沒看到emm）

好啦！這就是這一篇所有要講的內(nèi)容啦！下面我們來實踐一下…..

【習題部分】

注：前 7 個題都比較簡單，有基礎(chǔ)的可以直接跳過啦~

一、三角函數(shù)概念的應用

1. 對三角函數(shù)概念的理解

重點：三角函數(shù)值是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小由終邊位置決定。

【練習 1】（2018 年北京高考）

提示：當角 α 的終邊上的點的坐標以參數(shù)形式給出時，要進行分類討論。

【練習 2】

【練習 3】

3. 已知角的終邊落在某一直線上，求其三角函數(shù)值

提示：角的終邊是射線，所以角的終邊落在直線上有兩種情況，要分類討論。

【練習 4】

二、利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值

二、利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值

1. 已知角的一個三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值

方法：（1）由已知三角函數(shù)值的符號，確定角終邊所在的象限

（2）根據(jù)角的終邊所在象限進行分類討論

（3）利用基本關(guān)系式求出其余三角函數(shù)值

【練習 5】

方法：這類題目通常先通過題干給的條件求出 tan α 的值，接著對題目的式子進行變形。

（1）若題目的式子是分式，則分子分母同時除以 cos α 或 cos2α，得到 tan α 和常數(shù)。

（2）若題目的式子是整式，則可先變形為分式（除以 sin2α + cos2α），得到分式，仿照（2）進行計算。

【練習 6】

3. 由 sin α ± cos α, sin α · cos α 之間的關(guān)系求值

方法：由同角三角函數(shù)平方關(guān)系（下圖）

可知，如果已知 (sin α+cos α)2、2sin α cos α、(sin α-cos α)2?中的任何一個，就可以利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出其余兩個的值。

【練習 7】

三、利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡

化簡原則：項數(shù)盡可能少、次數(shù)盡可能低、盡量不含根號、盡量求值。

化簡常用方法：（1）對于含有根號的，常把被開方數(shù)（式）化成完全平方數(shù)（式），然后去掉根號。

（2）化切為弦，減少函數(shù)種類。

（3）對于含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解或構(gòu)造 sin2α+cos2α = 1，以降低次數(shù)。

【練習 8】

（這個題有點難度的，我當時也想了一會aww）（大佬請自動忽略這句話）

【練習 9】

四、利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式證明

無條件恒等式：

方法：（1）直接從一邊向另一邊推導，注意看到?tan 可以切化弦，看到 sin2?或 cos2?可以用?“1” 進行換元（經(jīng)驗告訴我，在三角函數(shù)恒等式證明中，1 真的很關(guān)鍵）。

（2）變更命題，如證明相等，可以使用交叉相乘、做商、做差等。

【練習 10】

有條件恒等式：

方法：（1）直推法：從條件直接推到結(jié)論，注意切化弦還有 1 的轉(zhuǎn)化。

（2）代入法：將條件帶入到結(jié)論中，轉(zhuǎn)化為三角恒等式的證明（即轉(zhuǎn)化為無條件恒等式）

【練習 11】

（這個題很巧，我當時看了半天沒看出來任何思路 emm（）

五、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形

沒有練習題，但有一些很重要的公式~（公式 8 的證明寫在旁邊啦~）

六、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與一元二次方程的綜合

方法：（1）利用平方關(guān)系把已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角函數(shù)的一元二次方程

（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系尋求等量關(guān)系

（3）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行化簡

【練習 12】

以上就是本篇的全部內(nèi)容啦！感謝你看到這里，我們下一篇再見！

By Geeker · LStar。

最后更新：2023-07-05，21:00

【為愛發(fā)電??】