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Chernoff_bounds_用于泊松過(guò)程-不同形式

2023-08-27 04:12 作者:樂(lè)吧的數(shù)學(xué)  | 我要投稿


m 大于 E(X),則:

%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%0AP(X%20%5Cge%20m%20)%20%26%20%5Cle%20%5Cleft%20%5C%7B%20%20%5Cleft%20%5B%5Cfrac%7B(1-%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D)%7D%7B(1-p)%20%7D%20%5Cright%20%20%5D%5E%7B(1-%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D)%7D%0A%0A%20%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%7D%7Bp%20%7D%20%5Cright%20%20%5D%5E%7B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%7D%0A%0A%20%5Cright%20%5C%7D%20%5E%7B-n%7D%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Ctag%7B1%7D

用上一個(gè)文章中的推導(dǎo)過(guò)程,如果 m 小于 E(X),則:

%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%0AP(X%20%5Cle%20m%20)%20%26%20%5Cle%20%5Cleft%20%5C%7B%20%20%5Cleft%20%5B%5Cfrac%7B(1-%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D)%7D%7B(1-p)%20%7D%20%5Cright%20%20%5D%5E%7B(1-%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D)%7D%0A%0A%20%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%7D%7Bp%20%7D%20%5Cright%20%20%5D%5E%7B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%7D%0A%0A%20%5Cright%20%5C%7D%20%5E%7B-n%7D%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Ctag%7B2%7D

兩個(gè)公式看起來(lái)是一樣的。


如果把 m 換成如下的表達(dá)式:

m%20%3D%20%5Cmu%20%2B%20%5Clambda%20%20%20%5Ctag%203

則:m 大于 E(X)

%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu%2B%5Clambda%7D%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bu%7D%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7Bn%7D%20%3D%20p%20%2B%20%5Cvarepsilon

m 小于 E(X)

%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cmu-%5Clambda%7D%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bu%7D%7Bn%7D-%5Cfrac%7B%5Clambda%7D%7Bn%7D%20%3D%20p%20-%20%5Cvarepsilon



則公式 (1)和 (2) 就可以寫(xiě)成:m 大于 E(X)

%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%0AP(X%20%5Cge%20m%20)%3DP(%5Cfrac%7BX%7D%7Bn%7D%20%5Cge%20p%2B%5Cvarepsilon%20)%20%26%20%5Cle%20%5Cleft%20%5C%7B%20%20%5Cleft%20%5B%5Cfrac%7B(1-p-%5Cvarepsilon)%7D%7B(1-p)%20%7D%20%5Cright%20%20%5D%5E%7B(1-p-%5Cvarepsilon)%7D%0A%0A%20%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7Bp%2B%5Cvarepsilon%7D%7Bp%20%7D%20%5Cright%20%20%5D%5E%7Bp%2B%5Cvarepsilon%7D%0A%0A%20%5Cright%20%5C%7D%20%5E%7B-n%7D%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Ctag%7B4%7D

以及: m 小于 E(X)

%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%0AP(X%20%5Cle%20m%20)%3DP(%5Cfrac%7BX%7D%7Bn%7D%20%5Cle%20p-%5Cvarepsilon%20)%20%26%20%5Cle%20%5Cleft%20%5C%7B%20%20%5Cleft%20%5B%5Cfrac%7B(1-p%2B%5Cvarepsilon)%7D%7B(1-p)%20%7D%20%5Cright%20%20%5D%5E%7B(1-p%2B%5Cvarepsilon)%7D%0A%0A%20%5Cleft%20%5B%20%5Cfrac%7Bp-%5Cvarepsilon%7D%7Bp%20%7D%20%5Cright%20%20%5D%5E%7Bp-%5Cvarepsilon%7D%0A%0A%20%5Cright%20%5C%7D%20%5E%7B-n%7D%0A%0A%5Cend%7Baligned%7D%20%20%5Ctag%7B5%7D



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