泊松分布

2022-04-16 22:50 作者:匆匆-cc 0人讀過 | 我要投稿

????????泊松分布滿足表達式：

$P_%7B(x%3Dk)%7D%3D%5Cfrac%7B%5Clambda%5Eke%5E%7B-%5Clambda%7D%7D%7Bk!%7D%2Ck%3D0%2C1%2C2%2C%E2%80%A6$

概率和

????????我們需要先了解泰勒展開式。

????????根據(jù) $y%3De%5Ex$ 在 $x%3D0$ 處的泰勒展開式，有

$e%5Ex%3D1%2B%5Cfrac%7Bx%7D%7B1!%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2!%7D%2B%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3!%7D%2B%E2%80%A6$

????????所以，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7Bk%3D0%7DP_%7B(x%3Dk)%7D%26%3D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7Bk%3D0%7D%5Cfrac%7B%5Clambda%5Eke%5E%7B-%5Clambda%7D%7D%7Bk!%7D%5C%5C%0A%26%3De%5E%7B-%5Clambda%7D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7Bk%3D0%7D%5Cfrac%7B%5Clambda%5Ek%7D%7Bk!%7D%5C%5C%0A%26%3De%5E%7B%5Clambda%7D%5Ccdot%20e%5E%7B%5Clambda%7D%5C%5C%0A%26%3D1%0A%5Cend%7Balign%7D$

期望

????????同樣需要了解一個泰勒展開式。

????????根據(jù) $y%3Dxe%5Ex$ 在 $x%3D0$ 處的泰勒展開式，有

$xe%5Ex%3D0%2B%5Cfrac%7B1%5Ccdot%20x%7D%7B1!%7D%2B%5Cfrac%7B2%5Ccdot%20x%5E2%7D%7B2!%7D%2B%5Cfrac%7B3%5Ccdot%20x%5E3%7D%7B3!%7D%2B%E2%80%A6$

????????所以，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AE(x)%26%3D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7Bk%3D0%7D%5Cfrac%7B%5Clambda%5Eke%5E%7B-%5Clambda%7D%7D%7Bk!%7D%5Ccdot%20k%5C%5C%0A%26%3De%5E%7B-%5Clambda%7D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7Bk%3D0%7D%5Cfrac%7Bk%5Clambda%5Ek%7D%7Bk!%7D%5C%5C%0A%26%3De%5E%7B-%5Clambda%7D%5Ccdot%5Clambda%20e%5E%5Clambda%5C%5C%0A%26%3D%5Clambda%0A%5Cend%7Balign%7D$

方差

????????根據(jù) $y%3Dx(x%2B1)e%5Ex$ 在 $x%3D0$ 處的泰勒展開式，有

$x(x%2B1)e%5Ex%3D0%2B%5Cfrac%7B1%5E2%5Ccdot%20x%7D%7B1!%7D%2B%5Cfrac%7B2%5E2%5Ccdot%20x%5E2%7D%7B2!%7D%2B%5Cfrac%7B3%5E2%5Ccdot%20x%5E3%7D%7B3!%7D%2B%E2%80%A6$

? ? ????所以，

$%5Cbegin%7Balign%7D%0AD(x)%26%3D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7Bk%3D0%7D%5Cfrac%7B%5Clambda%5Eke%5E%7B-%5Clambda%7D%7D%7Bk!%7D%5Ccdot%20k%5E2-E%5E2(x)%5C%5C%0A%26%3De%5E%7B-%5Clambda%7D%5Csum%5E%7B%2B%5Cinfty%7D_%7Bk%3D0%7D%5Cfrac%7Bk%5E2%5Clambda%5Ek%7D%7Bk!%7D-E%5E2(x)%5C%5C%0A%26%3De%5E%7B-%5Clambda%7D%5Ccdot%5Clambda(%5Clambda%2B1)%20e%5E%5Clambda-%5Clambda%5E2%5C%5C%0A%26%3D%5Clambda%0A%5Cend%7Balign%7D$

????????關(guān)于 $y%3Dx(x%2B1)e%5Ex$ 在 $x%3D0$ 處的泰勒展開式，我們有：

$y%3D(x%5E2%2Bx)e%5Ex$

$y'%3D(x%5E2%2B3x%2B1)e%5Ex$

$y''%3D(x%5E2%2B5x%2B4)e%5Ex$

$y'''%3D(x%5E2%2B7x%2B9)e%5Ex$

$%E2%80%A6$

????????可用數(shù)學(xué)歸納法證明下式：

$x(x%2B1)e%5Ex%3D0%2B%5Cfrac%7B1%5E2%5Ccdot%20x%7D%7B1!%7D%2B%5Cfrac%7B2%5E2%5Ccdot%20x%5E2%7D%7B2!%7D%2B%5Cfrac%7B3%5E2%5Ccdot%20x%5E3%7D%7B3!%7D%2B%E2%80%A6$

? ? ? ? 再次聲明：此類專題一般僅從分布列要求、期望、方差以及簡單性質(zhì)幾個角度來研究，其余的累積分布函數(shù)、特征函數(shù)等內(nèi)容，恕不討論。

????????其目的，是為了練習(xí)與高等數(shù)學(xué)接軌的部分知識，而不是系統(tǒng)地學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計。

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