一、整體感受

1、在學(xué)完本節(jié)之后對(duì)Green公式有了更深刻的領(lǐng)悟，

甚至對(duì)于day84題4有了更新的領(lǐng)悟，寫(xiě)了法三。

2、這一節(jié)讓我感受到了對(duì)于曲線及區(qū)域之間的關(guān)聯(lián)，曲線順逆之間的差別（以逆時(shí)針為正），如何取一個(gè)有瑕點(diǎn)的區(qū)域，如何確定這個(gè)有瑕點(diǎn)的邊界方程。在這樣的領(lǐng)悟之下，對(duì)day84的題目進(jìn)行重新學(xué)習(xí)、思考、體悟。

3、本節(jié)對(duì)于一些幾何知識(shí)還是有一定的要求

（如橢圓面積公式；曲線切向量、曲面的法向量公式；切向量與法向量之間的關(guān)系；Green公式如何計(jì)算面積等幾何知識(shí)，這也是對(duì)之前多元函數(shù)的幾何應(yīng)用的再次回顧）

4、第一型和第二型曲線之間的聯(lián)系的再次深度認(rèn)識(shí)，也是對(duì)專欄“day83-補(bǔ)充”這一節(jié)對(duì)于二者聯(lián)系的再次深度認(rèn)識(shí)。在本專欄二、3會(huì)通過(guò)一道補(bǔ)充習(xí)題的訓(xùn)練對(duì)于一些幾何知識(shí)做進(jìn)一步深刻認(rèn)識(shí)。

二、 需要復(fù)習(xí)、掌握的

1、曲面切平面與法線方程（可以同時(shí)得到法向量，如何應(yīng)用具體見(jiàn)本專欄二、3）【注：平面是一種特殊的曲面】

2、（1）Green公式對(duì)于求面積的幫助（在電子科大最后一步有涉及，不過(guò)即使沒(méi)意識(shí)到，用Qx-Py也可以，這里只是做視野拓展）

（2）Green公式使用要注意的條件；及積分與路徑無(wú)關(guān)性的4個(gè)等價(jià)條件成立的條件是D是個(gè)單連通區(qū)域，做題時(shí)候要有意識(shí)的驗(yàn)證！

3、第一型和第二型曲線之間的聯(lián)系的再次深度認(rèn)識(shí)（理論+補(bǔ)充習(xí)題）

（1）理論

（2）補(bǔ)充習(xí)題

4、對(duì)于區(qū)域與邊界的聯(lián)系，通過(guò)做有關(guān)Green公式的習(xí)題（本專欄同濟(jì)和電子科大，以及day84的中科大這三題）再次得到深刻感悟

三、具體題目

（一）對(duì)day84題4的新做法（法三）

思考思路：由于L可以不涉及到（1/2，0），分成最簡(jiǎn)單的三段做，比如（0，-1）到（1，-1），到（1，1），再到（0，1）這三段去相加；此時(shí)這個(gè)區(qū)域D不包含（1/2，0），可以放心使用積分與路徑無(wú)關(guān)性的等價(jià)條件！

具體做法：

①

(0,-1)到(1,-1)這個(gè)線段，y＝-1,x屬于0到1，dy＝0代入；

(-1,1)到(1,1)這個(gè)線段，x＝1，y屬于-1到1，dx＝0代入；

(1,1)到(0,1)這個(gè)線段y＝1,x屬于1到0，dy＝0代入。

注：計(jì)算積分的時(shí)候可能要注意到換元、上下限的變換、奇偶函數(shù)的性質(zhì)使用。

②最后三段相加，得到結(jié)果為4arctan(1/2)+2arctan2；

③再利用arctan(1/2)+arctan2＝π/2可以得到最終結(jié)果，和法一、法二結(jié)果一致。

（二）本節(jié)習(xí)題

1（同濟(jì)）

對(duì)于第一、第二型曲線積分的聯(lián)系的理論，運(yùn)用到切向量和法向量的關(guān)系來(lái)化簡(jiǎn)被積函數(shù)，對(duì)于基本功的考察很細(xì)致，很經(jīng)典的一道題。

對(duì)于理解Green公式以及如何挖有很好幫助，值得好好學(xué)習(xí)，這類題本質(zhì)還是套路題，不要怕，還是有跡可循的。

做法：

①利用題干、法向量及切向量關(guān)系化簡(jiǎn)被積函數(shù)；

②記出P、Q，觀察被積函數(shù)分母，發(fā)現(xiàn)可能（x,y）是瑕點(diǎn)

③對(duì)于（x,y）是否為瑕點(diǎn)分類討論.

第一種是不包含（x,y）,那么P,Q在不包含（x,y）的任何區(qū)域有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，算出Qξ和Pη相等，利用Green公式化為二重積分，最后積分值為0；

第二種是包含（x,y)，那么（x,y）就是D的內(nèi)點(diǎn)；

我們?cè)?strong>D內(nèi)任取一個(gè)圓，記為Dε；

再把這個(gè)Dε的邊界這個(gè)圓周記為Cε，取順時(shí)針。

于是得到C+Cε就是D-Dε的邊界曲線，而且（x,y）?D-Dε。

下利用Green公式知道C+Cε上的曲線積分=0，

再將式子移項(xiàng)，那么u(x,y)=C上曲線積分=-（Cε上的積分）=-Cε上的積分

（注：這也是為什么之前Cε這個(gè)圓周取順時(shí)針的原因，這里-Cε就可以取逆時(shí)針，就是正值）。

因此積分變成了在-Cε上的積分了，這個(gè)圓周方程可以把P和Q的分母變成ε^2，并提到積分號(hào)前面，

此時(shí)只剩P、Q的分子在積分之中，這兩個(gè)函數(shù)在Dε上有連續(xù)的偏導(dǎo)，

所以利用Green公式化簡(jiǎn)，直接Qξ-Pη=2,把2提到外面，

此時(shí)這個(gè)Dε二重積分的面積就是π*ε^2。

最后得到u(x,y)=2π。

整理一下得到（x,y）∈D，積分值為2π;（x,y）?D，積分值為0.

注：特別希望對(duì)于這里第二種情況好好復(fù)習(xí)，探索思路，對(duì)于曲線積分有瑕點(diǎn)問(wèn)題的解決有很大幫助！?。?！

2（電子科大）

難度上沒(méi)有上一道同濟(jì)的難，但是還是考察基本的會(huì)不會(huì)挖，操作流程基本沒(méi)有改變，還是分瑕點(diǎn)是否在區(qū)域中進(jìn)行分類討論。

做法：

①畫(huà)圖，同時(shí)觀察被積函數(shù)的分母，發(fā)現(xiàn)（0，0）這點(diǎn)可能是瑕點(diǎn)。

②記P,Q，驗(yàn)證Py=Qx

③分類討論，分成0<r<1和r>1兩種情況.

第一種，直接用Green公式，積分為0.

第二種，

先在D中以（0，0）為中心任取一個(gè)橢圓（要符合被積函數(shù)分母的形式，方便待會(huì)提到積分前面），記為D’.

記這個(gè)橢圓的圓周為γ1，逆時(shí)針.

于是γ+（-γ1）這個(gè)邊界上的積分可以利用Grren公式，為0.

（這里-γ1是順時(shí)針?lè)较虻模?/span>

移項(xiàng)，得到γ上積分=-（-γ1）上的積分=γ1上的積分，

由于積分在γ1上，可以把P和Q的分母轉(zhuǎn)換為ε^2，提到積分前面.

再利用Green公式，把γ1上的曲線積分轉(zhuǎn)換為D’上的二重積分.這里可以利用一下“Green公式對(duì)求面積的幫助”（可見(jiàn)本專欄二、2（1）），如果沒(méi)注意到，直接用P、Q的分子算偏導(dǎo)算出2也可以

此時(shí)把2提到積分外面，剩下了D’的二重積分，求面積，就是求這個(gè)橢圓D’的面積（注：橢圓面積公式=πab，a為長(zhǎng)半軸，b為短半軸）。

最后將兩種情況歸總一下即可。