2.1.1 質心公式

如果物體上每點的重力加速度相等，那么重心和質心在同一位置。后面我們只討論質心，即質量分布的等效中心。

質心的計算公式

我們將物體分成若干個質點{m_i}，每個質點相對于O的距離為\vec r_i，以O為支點，所有重力的力矩之和等效為全部重力作用在重心的力矩。

故重心：

寫成分量形式則有：

2.1.2 常見質心計算

1.均勻半圓環(huán)

由于對稱性，質心在對稱軸上，而且，左右兩個1/4圓的質心高度相等，所以我們只要考慮1/4圓的質心高度即可。

我們取處圓心角對應的一小段圓弧，質心縱坐標為，假設質量線密度為\lambda，小圓弧質量為，代入質心公式得：

故半圓弧質心高度為.

2.均勻半圓盤

同樣由于對稱性，質心一定在對稱軸上。我們沿用上一問的結論，我們將半圓盤沿著半徑方向分割為厚度為dr的小圓弧。每一個小圓弧的質心坐標為，假設圓盤質量面密度為，則小圓弧的質量.代入質心公式得：

3.均勻半球面

易知質心在對稱軸上，我們取一個小圓環(huán)，厚度為，半徑為。則小圓環(huán)的質心高度為，假設球面質量面密度為，則圓環(huán)質量，代入質心公式：

這個結論很特殊，實際上，每個小圓環(huán)的質量中，為圓環(huán)的高度，這意味著圓環(huán)高度一定時，對應的小圓環(huán)質量也一定。

4.均勻半球體

利用上一問的結論，將半球體分割為若干個半徑為r的薄半球殼，厚度為dr。則半球殼的質心高度為r/2，假設球體的質量體密度為，則半球殼的質量，代入質心公式：

這4種質心，分別是質量的曲線分布，平面分布，曲面分布和空間分布，其它質心都可以類似求解。

另外，等效是沒有先后順序的，比如求3個物體的等效質心，可以先求其中2個物體的等效質心，再求出與第3個物體的等效質心。

2.1.3 巴普斯定理

一個密度均勻的有限平面，以垂直平面的速度運動，掃過的體積等于質心經過的路程乘平面面積。

證明：

設總面積為S，總質量為M。則質心位置：

則

由于速度與平面垂直，為dt內掃過的面積，為dt內平面掃過的面積。兩邊積分得：

左邊為質心通過路程，右邊分子為平面掃過總體積。平面寬度為0，變?yōu)榍€時，掃過體積則變?yōu)閽哌^的面積。

利用巴普斯定理我們可以快速計算一些平面圖形的質心。

1.半圓弧繞直徑轉一圈

故

2.半圓盤繞直徑轉一圈

故

2.1.4 負質量等效

有些挖空的求質心的問題，除了列方程的方法，假想負質量等效來求解質心，則更加快捷。

一質量均勻分布的半圓形薄片，圓心O，半徑R.其上有半徑為r的小圓孔，孔圓心為O'， OO'垂直于半圓形薄片的直徑，OO'=d.大小關系如圖，求此帶小孔半圓形薄片的質心離圓心O的距離。

質心在對稱軸上，假設質心高度為y_C.可以看成半圓薄片疊加一個負質量的小圓孔：

2.1.5 練習

如圖所示，一個半徑為R的1/4光滑圓柱面放置在水平面上。柱面上置一線密度為的光滑均勻鐵鏈，其一端固定在柱面頂端A，另一B恰與水平面相切，試求鐵鏈的重心到軸O的距離l．

答案：

半徑為R的圓面繞圓面內與之相切的一條軸線AA'旋轉而形成一個環(huán)，如圖。求此環(huán)的體積。

答案：