? 整數(shù)和有理數(shù)一樣多嗎？

? 有理數(shù)和無理數(shù)一樣多嗎？

? 平面上的點和直線上的點一樣多嗎？

? 第一個問題很容易解釋，有理數(shù)可以看作兩個整數(shù)的組合，所有整數(shù)被看作一條直線上的格點，有理數(shù)就可以看作是平面上的格點，想象你手里有無窮多個圍棋子，你可以將它鋪滿一條直線上的格點，也可以將它鋪滿整個平面的格點，只要你一圈一圈的往外排，無論多遠的點總有一天可以排到，所以有理數(shù)其實是和整數(shù)一樣多的。那么怎么解釋無理數(shù)比有理數(shù)要多呢？從有理數(shù)到無理數(shù)的過程其實是極限，用有理數(shù)的極限來定義無理數(shù)，或者說一個無理數(shù)其實對應(yīng)于一個有理數(shù)的序列，所以我們面臨的是無窮維空間上的格點，它還能用圍棋子慢慢的填滿嗎？其實是不能的，你可以填滿二維的格點，是因為二維空間一圈需要的圍棋子數(shù)量是,三維空間一層需要的數(shù)量是。這都是有限的數(shù)，無窮維空間的一個超球面上的格點數(shù)量就不是有限數(shù)了，所以你只能鋪滿一層而無法進入到下一層，我給出的這個視角雖然不是嚴格的論證，因為嚴格的論證在任何一本教材上都有，但是給到你的是無窮維空間和有限維空間有著根本的區(qū)別，這點在泛函分析里面是想當重要的。

? 下面試圖建立一個自然數(shù)和單位區(qū)間的關(guān)系，單位區(qū)間上的數(shù)就是開頭的小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)對應(yīng)了無理數(shù)，循環(huán)和有限小數(shù)對應(yīng)了有理數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)一個二進制小數(shù)對應(yīng)了自然數(shù)集合的一個子集：如果某個位數(shù)是，這個位數(shù)就放入該集:

也就是說實數(shù)和整數(shù)的冪集對應(yīng)，所謂冪集就是集合的所有子集構(gòu)成的集合。其實任何集合都無法和自己的冪集對等，這是任何一本教科書都會有的證明。

? 平面上的點和直線上的點是一樣多的，其實這很容易證明，一個平面上的點有橫縱兩個坐標，將它們分別放入奇數(shù)位置和偶數(shù)位置，就構(gòu)成了一個實數(shù)，也就是得到了一個平面到直線的單射。