# 多目標(biāo)規(guī)劃

多目標(biāo)規(guī)劃-簡介

• 既要XX,又要XXX

(非)線性規(guī)劃都是一個目標(biāo)函數(shù)，例如工業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，追求錄大化利潤。

例如：某工廠生產(chǎn)產(chǎn)品I和產(chǎn)品Ⅱ，有關(guān)數(shù)據(jù)如下，若只追求最大化利潤，得到**模型**：

max z =8*x_1+10*x_2,%最大化 利潤z

s. t.%三條約束

2*x_1+x_2≤11，%所用原材料不超過擁有量

x_1+2*x_2≤10，%設(shè)備生產(chǎn)能力不超過現(xiàn)在擁有量

x_1,2≥0%同時生產(chǎn)產(chǎn)品i和ii

• 但現(xiàn)在有3個**目標(biāo)**：

1.盡量使產(chǎn)品I的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品I的產(chǎn)量：

2.盡可能充分利用所有設(shè)備：

3.盡可能使利潤不少于56萬→目標(biāo)約束

• 注意：目標(biāo)1是“不超過”，也就是盡量“≤”;
• 目標(biāo)2是“充分利用”，也就是盡量“=”;
• 目標(biāo)3是“不少于”，也就是盡量“≥”
• 需要衡量每個目標(biāo)的完成情況，并主觀上區(qū)分三個目標(biāo)的重要性，使得整體的完成情況盡量好。

• 精髓：需要衡量每個目標(biāo)的**完成情況**，并主觀上區(qū)分三個目標(biāo)的**重要性**，使得**整體的完成情況**盡量好
• 引入三個概念：正負(fù)偏差變量，絕對約束和目標(biāo)約束，優(yōu)先因子

1、衡量每個目標(biāo)的完成情況：正負(fù)偏差變量

設(shè)f_i為第i個目標(biāo)函數(shù)

正偏差變量d_i^+表示實際值超過目標(biāo)值的部分，負(fù)偏差變量d_i^-表示實際值未達(dá)到目標(biāo)值的部分，這里d_i^0表示f_i的目標(biāo)值

例如本題目標(biāo)3：盡可能使利潤不少于56萬，那么d_3^0=56

• 該目標(biāo)利潤超了超了目標(biāo)更好
• 盡量不小于=負(fù)偏差變量d_3^-越小越好

絕對約束和目標(biāo)約束

• 絕對約束是模型中自帶的約束條件
• 絕對約束必須滿足，否則是不可行解
• 例如2*x_1+x_2≤11，%所用原材料不超過擁有量

目標(biāo)約束（cue：盡可能）是模型中對不等式右端追求的值允許有偏差

• 目標(biāo)3：盡可能使利潤不少于56萬，也就是z =8*x_1+10*x_2≥56但允許有偏差
• 這個“偏差”就是加入正負(fù)偏差變量，變成8*x_1+10*x_2+d_i^- -d_i^+ = 56
• 利用了允許的“偏差”即正負(fù)偏差變量，多退少補，把目標(biāo)函數(shù)變成了等式約束條件

優(yōu)先因子

• 1,盡量使產(chǎn)品I的產(chǎn)量不超過產(chǎn)品Ⅱ的產(chǎn)量：2.盡可能充分利用所有設(shè)備：3.盡可能使利澗不少于56萬
• 這三者到底哪個重要？常要主觀確定優(yōu)先P_k（大水詞：經(jīng)相關(guān)文獻(xiàn)參考）
• 例如，我認(rèn)為目標(biāo)3最重要，給他優(yōu)先因子是10；目標(biāo)2第二重要，給他優(yōu)先因子5；目標(biāo)1第三重要，給它優(yōu)先因子是1。那么三個目標(biāo)重要性之比足10:5:1

第一個目標(biāo)要求不超過目標(biāo)值，意味著正偏差變量d_1^+越小越好

多目標(biāo)規(guī)劃模型