作者：Thomas M. Antonsen等

翻譯，獨(dú)行者，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)翻譯組成員。

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時差反應(yīng)是搭乘飛機(jī)旅行的人在跨越多個時區(qū)后常常出現(xiàn)的現(xiàn)象。經(jīng)典癥狀包括頭暈、惡心、在當(dāng)?shù)爻霈F(xiàn)白天醒不了、晚上睡不著。用簡單的話來說，人體內(nèi)的時間調(diào)節(jié)機(jī)制一般會與當(dāng)?shù)氐?4小時晝夜周期相適應(yīng)，這一般取決于外部自然條件（特別是日出日落）和社會條件。由于快速地跨越了多個時區(qū)，身體內(nèi)的晝夜節(jié)律調(diào)節(jié)機(jī)制需要時間去與所在地的外部自然晝夜周期進(jìn)行同步；這種重新同步機(jī)制的現(xiàn)象便是旅客們所表現(xiàn)的時差反應(yīng)現(xiàn)象。由于節(jié)律器的重新同步是一種動態(tài)機(jī)制，這便促使人們從動態(tài)系統(tǒng)的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，并嘗試解釋這一現(xiàn)象。

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當(dāng)身體產(chǎn)生許多信號來幫助調(diào)節(jié)身體的晝夜周期時，身體當(dāng)中的一個部位似乎起著非常重要的作用：視交叉上核（the suprachiasmatic nucleus，SCN），這是人體大腦中一個非常狹小的部位。醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)視交叉上核是由104個調(diào)節(jié)神經(jīng)元組成的一個序列，所以我們也就可以有理由認(rèn)為如果把這些神經(jīng)元單獨(dú)隔離開來，這些生命調(diào)節(jié)器的周期大致在一個平均值上，通常情況下其平均時間在24小時以上。當(dāng)這些神經(jīng)元組合在一起的時候，這些生命節(jié)律調(diào)節(jié)器便會進(jìn)行相互協(xié)調(diào)，同時當(dāng)其中一個神經(jīng)元受到外界刺激后，他會通知其他神經(jīng)元進(jìn)行調(diào)節(jié)。就比如，太陽的升起和落下。這些結(jié)論是我們構(gòu)建模型和預(yù)測分析的基礎(chǔ)概念，同時也是其他研究者的基本思路。但是我們所構(gòu)建的模型與之前的研究者有所不同，我們著眼于組合在一起的每一個的視交叉上核神經(jīng)元的微觀狀態(tài)，并將忽略高維度微觀結(jié)構(gòu)，將我們的研究縮減到低維度的宏觀結(jié)構(gòu)以便進(jìn)行觀察。我們建立模型主要是為了解釋相比于向西跨越相同數(shù)量時區(qū)，時差反應(yīng)在向東跨越同樣數(shù)量的時區(qū)后將會更加嚴(yán)重（例如，恢復(fù)時間更長）的現(xiàn)象，因為這是人們普遍的感受。特別的，我們分析視交叉上核的平均晝夜周期略大于24小時現(xiàn)象對于東西時差反應(yīng)不對稱現(xiàn)象的解釋有多少可信度。

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在決定去了解在N個神經(jīng)視交叉上核集合中去分析跨時區(qū)旅行和時區(qū)重新同步之間的相互作用之初，我們使用了一個非常簡單的模型來分析這些神經(jīng)元的作用，這是考慮到了部分現(xiàn)實情況。藏本模型（Kuramoto model）是一個非常出名的模型，在這個模型中每一個神經(jīng)視交叉上核的復(fù)雜動態(tài)變化都會被簡化成一個簡單的時間和相相關(guān)的演化方程θi(t),i表達(dá)的是在第i個視神經(jīng)交叉上核的狀態(tài)。其中i=1,2,3,……N. 而視神經(jīng)交叉上核的相則會在時間上提前一點(diǎn)。根據(jù)下面的公式可以得出各個變量之間的關(guān)系：

其中，ωi是每個視神經(jīng)交叉上核的自然頻率。在模型中，ωi是通過分布函數(shù)g(ωi)取得的，我們?nèi)〉氖窃?4小時內(nèi)的最大值ω。右邊第二個加數(shù)描述的是每一個視神經(jīng)交叉上核與其他神經(jīng)元之間同步的概率，其耦合強(qiáng)度為K。第三個加數(shù)則表示的是與外部的聯(lián)系，特別是太陽光的影響。它影響的強(qiáng)度為F，每個神經(jīng)元都有一個相位δt + p，其中δ= 2πhr/(24s)，他代表的是每日的頻率，p相位依賴于時區(qū)。如果t是格林威治標(biāo)準(zhǔn)時間，p為正數(shù)，在格林威治東邊，p的取值范圍為0 < p <π；若在西邊，則為-π< p < 0。

看上去這個等式十分簡單，但是它仍然需要巨大的數(shù)據(jù)量，每一組等式所需要的數(shù)據(jù)大概在N-10^4的數(shù)量級上。因此為了能夠進(jìn)一步簡化等式，我們在這里提出兩種方法。第一步，我們?nèi)∵B續(xù)極限：N→∞，則SCN的狀態(tài)取決于調(diào)節(jié)神經(jīng)元的相位和頻率隨時間分布的函數(shù)，f(θ,ω,t)。當(dāng)N>>1時，N→∞的極限才能有很好的近似。第二，我們使用通常所說的奧特——安東森假設(shè)（Ott-Antonsen ansatz），這個假設(shè)為解出分布函數(shù)f提供了非常好的方法。當(dāng)簡化系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)時，該假設(shè)為f(θ,ω,t)限定了函數(shù)表達(dá)式。更進(jìn)一步地，注記[6]發(fā)現(xiàn)在一個條件較為寬松而且長時間的狀態(tài)下，f會在一定概率下收斂到簡化條件的解上。因此，我們捕捉每一個匯點(diǎn)和分叉點(diǎn)。在自然調(diào)節(jié)頻率:

的洛倫茲分布情況下，SCN的宏觀狀態(tài)將由一個單一復(fù)數(shù)變量

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來表示，我們由此得到如下公式：

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其中復(fù)變量z的極角表示的是SCN的總體全局視神經(jīng)上核相位。因此我們的假設(shè)將一個N維系統(tǒng)簡化為這種單一，一致性的復(fù)數(shù)常微分方程，以使我們能夠快速遍歷每一個變量空間，并能對動態(tài)系統(tǒng)有更深刻的理解。

盡管假說仍然需要對等式1所表示的宏觀狀態(tài)行為進(jìn)行研究，這種假說仍然舊展示了這種降低維度能力的作用，不僅僅對等式1有效，還對非常多的情況有作用。這些場景包括，在倫敦千禧橋上的人行橫道上人致振動、約瑟夫森結(jié)電路、鳥鳴的模型建立和脈沖耦合神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建。這個模型還可加入更多額外的動態(tài)特征，例如某一個視神經(jīng)上核對另一個的延時影響，不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹⒖臻g耦合和反饋控制模型的效果。

正如圖像一所示，該模型是一個性質(zhì)相異的動態(tài)空間，它擁有三個變量體系。我們認(rèn)為一個正常人的晝夜節(jié)律是與外部24小時周期相協(xié)調(diào)的，在z相位空間中是有一個對應(yīng)的固定點(diǎn)（在圖1a和1b中的一個黑點(diǎn)）。圖1c所示的狀態(tài)是一個人的晝夜周期節(jié)律與外部24小時周期是不同步的。該圖表明這個人的晝夜相位和外部刺激的相位變化曲線最終形成了一個封閉曲線，在z相位上組成一個周期性軌道。圖1a和圖1b的動態(tài)關(guān)系之間其實也有差別；通過鞍結(jié)分岔過程處理，除了對應(yīng)的固定點(diǎn)，圖1b還有兩個另外的固定點(diǎn)，一個不穩(wěn)定（顯示成未閉合的圓）和一個鞍結(jié)（表示成一個交點(diǎn)）。鞍結(jié)的不穩(wěn)定特性就形成了一個環(huán)，而且z相位可以通過兩個相反的方向到達(dá)固定點(diǎn)。

為了能夠分析健康人從時差反應(yīng)中恢復(fù)過來的過程，我們假設(shè)旅行者是從他之前的時區(qū)（z相位是在固定的位置）來到目前的位置的。為了簡化分析過程，我們同時假設(shè)旅行者的跨時區(qū)旅程非常快，因此建立這個方程的時候在公式一中p的變化會是不連續(xù)的。因此，在旅行的最后，狀態(tài)變量z會迅速被[p(initial)-p(final)]旋轉(zhuǎn)后的(|z|fixed)所代替。z相位地固定點(diǎn)回到他之前的固定點(diǎn)前邊還是后邊取決于旅行結(jié)束的位置。我們比較感興趣的是恢復(fù)過程中存在的東向和西向的不對稱性，和以及恢復(fù)到正常狀態(tài)的時間。我們用一系列通用的變量代表了一個健康人的各項指標(biāo)。圖1a表示的便是變量集作用后生成的圖像，這張圖中只有一個固定點(diǎn)是穩(wěn)定的。當(dāng)外部刺激不存在時，視神經(jīng)交叉上核神經(jīng)元集合平均調(diào)整時間為24.5小時，和外部實驗觀察類似。這個計算結(jié)果也意外地表明自然狀態(tài)下，正常人視神經(jīng)交叉上核神經(jīng)元調(diào)節(jié)周期為24小時，與實驗結(jié)果有一個比較小的差距（約30分鐘），這也就足以說明東西向時差反應(yīng)的不對稱性是比較明顯的。

在動態(tài)系統(tǒng)應(yīng)用的SIAM會議上（DS17），愛德華·奧特將會出席朱楨·摩斯?fàn)柮麨椤按笮投鄠€聯(lián)動的晝夜調(diào)節(jié)器的應(yīng)急行為”的講座。該講座將于今年五月在猶他州雪鳥市舉行。他同時會組織并在“使用備用電腦來學(xué)習(xí)動態(tài)系統(tǒng)”的系列講座上發(fā)表講話，而米歇爾·吉瓦將會在“對稱性、非對稱性和網(wǎng)絡(luò)同步”的系列講座上發(fā)表演講。

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