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在本文中，我將向您展示如何模擬股票價(jià)格的Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型。?

Heston模型是針對(duì)具有隨機(jī)波動(dòng)性的期權(quán)，并于1993年申請(qǐng)了債券的貨幣期權(quán)。對(duì)于固定的無風(fēng)險(xiǎn)利率

，其描述為：

通過使用這種模型，可以得出歐洲看漲期權(quán)的價(jià)格 。

這是函數(shù)的描述。?

1. callHestoncf(S, X, tau, r, v0, vT, rho, k, sigma){

2. # S = Spot, X = Strike, tau = time to maturity

3. # r = risk-free rate, q = dividend yield

4. # v0 = initial variance, vT = long run variance (theta)

5. # rho = correlation, k = speed of mean reversion (kappa)

6. # sigma = volatility of volatility

7. }

現(xiàn)在，進(jìn)行蒙特卡洛定價(jià)。我們將為3個(gè)歐洲看漲期權(quán)定價(jià)

，具有3種不同的執(zhí)行價(jià)格。我們?cè)?5年中使用100000個(gè)模擬，每個(gè)月進(jìn)行一次。以下是對(duì)仿真有用的參數(shù)：

1. #Initial stock price

2. S0 <- 100

3. # Number of simulations (feel free to reduce this)

4. n <- 100000

5. # Sampling frequency

6. freq <- "monthly"

7. # volatility mean-reversion speed

8. kappa <- 0.003

9. # volatility of volatility

10. volvol <- 0.009

11. # Correlation between stoch. vol and spot prices

12. rho <- -0.5

13. # Initial variance

14. V0 <- 0.04

15. # long-term variance

16. theta <- 0.04

17. #Initial short rate

18. r0 <- 0.015

19. 


20. # Options maturities

21. horizon <- 15

22. # Options' exercise prices

23. strikes <- c(140, 100, 60)

?

為了使用模擬Heston模型，我們首先需要定義如何進(jìn)行模擬。

此函數(shù)提供一個(gè)包含2個(gè)成分的列表，每個(gè)成分包含模擬的隨機(jī)高斯增量。?

1. #? Stochastic volatility? simulation

2. sim.vol <- simdiff(n =? n, horizon =? horizon,

3. frequency =? freq, model = "CIR", x0 =? V0,

4. theta1 =? kappa*theta, theta2 =? kappa,

5. theta3 =? volvol, eps =? shocks[[1]])

6. 


7. # Stock prices simulation

8. sim.price <- simdiff(n = n, horizon = horizon,

9. frequency = freq, model = "GBM", x0 = S0,

10. theta1 = r0, theta2 = sqrt(sim.vol),

11. eps = shocks[[2]])

?現(xiàn)在，我們可以使用3種不同的

計(jì)算期權(quán)價(jià)格。?

1. # Stock price at maturity (15 years)

2. 


3. print(results)

4. 


5. 


6. strikes mcprices? lower95? upper95 pricesAnalytic

7. 1???? 140 25.59181 25.18569 25.99793???????? 25.96174

8. 2???? 100 37.78455 37.32418 38.24493???????? 38.17851

9. 3????? 60 56.53187 56.02380 57.03995???????? 56.91809

?

從這些結(jié)果中，我們看到這三個(gè)選項(xiàng)的蒙特卡洛價(jià)格與使用函數(shù)（直接使用公式來計(jì)算價(jià)格）計(jì)算出的價(jià)格相當(dāng)接近。95％的置信區(qū)間包含理論價(jià)格。

下面是期權(quán)價(jià)格，作為模擬次數(shù)的函數(shù)。計(jì)算出的理論價(jià)格用藍(lán)色繪制，蒙特卡洛平均價(jià)格用紅色繪制，陰影區(qū)域表示均值（蒙特卡洛價(jià)格）周圍的95％置信區(qū)間。

?