【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)23】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
定義：一個實(shí)數(shù)集E的全部元素若能按自然數(shù)次序排列起來，即E={a1，a2，……，an}，則稱E為可列集。
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練》（周民強(qiáng) 編著）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子胥 編）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析習(xí)題演練（周民強(qiáng)?編著）》）——
直線（實(shí)數(shù)全體）上互不相交的開區(qū)間形成的集是之多可列集。
證：在每個開區(qū)間中取定一個有理數(shù)，顯然這些有理數(shù)互不相同，因此開區(qū)間的“數(shù)量”與所選的有理數(shù)“數(shù)量”相同，即得所證。
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
已知非零向量a，b，求a+b與a-b共線的條件。
解：a+b與a-b共線，則（a+b）x（a-b）=axa-axb+bxa-bxb=2bxa=0，即a//b。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子胥 編）》）——
設(shè)A，B為n階方陣，且A=（B+E）/2.證明：A^2=A當(dāng)且僅當(dāng)B^2=E.
證：
必要性——
已知A=（B+E）/2，則A^2=（B^2+2B+E）/4；
A^2=A，則（B^2+2B+E）/4=（B+E）/2，解得B^2=E.
充分性——
已知A=（B+E）/2，則A^2=（B^2+2B+E）/4；
B^2=E，則A^2=（B^2+2B+E）/4=（2B+2E）/4=（B+E）/2=A.
證畢.
就到這里！
