續(xù)上一集，這一集更微分方程的結(jié)論方法庫(kù)簡(jiǎn)略版

22考研數(shù)一大綱局部：

八、常微分方程

常微分方程的基本概念、變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程、可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理、二階常系數(shù)齊次線性微分方程、高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程、簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、歐拉(Euler)方程、微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

考試要求

1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.

2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法.

3.會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程.

4.會(huì)用降階法解下列形式的微分方程：y"=f(x)、y"= f(x,y')和y"=f(y,y').

5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu).

6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程.

7.會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.

8.會(huì)解歐拉方程.

9.會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.

結(jié)論：

6.1、分離變量第一位

解常微分方程時(shí)分離變量擁有最高的優(yōu)先級(jí)，能分離變量的優(yōu)先分離變量。分離變量型通常是最簡(jiǎn)易的功能元。

6.2、一階線性方程是有通解公式的功能元

6.3、伯努利方程可以通過(guò)變量代換z=y^1-n降解為一階線性方程

6.4、全微分方程的通解是原函數(shù)，需要用曲線積分的基本定理。為了好求通常加裝單連通、無(wú)旋。

6.5、不顯含y的二階線性微分方程等效為y'=p的一階線性微分方程，可以降階。

6.6、不顯含x的二階線性微分方程也等效為y'=p的一階線性微分方程，可以先化為p的一階線性方程，再解一個(gè)可分離變量的一階方程

6.7、線性方程解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)定理：

6.8、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程設(shè)特解的兩種情況

6.9、歐拉方程可以通過(guò)變量代換t=lnx降解為常系數(shù)微分方程