一元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

不管怎么復(fù)合，得出的結(jié)果都是y對x的斜率。

多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)公式：

根據(jù)全微分

的幾何意義：

dz就是與A、B兩點(diǎn)相對應(yīng)的切平面上兩點(diǎn)的高度差，因此dz/dt就是切平面上的兩點(diǎn)相對于t的高度變化率。

再看復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

中間變量也可以增加：

與全導(dǎo)數(shù)形式上一致，但意義完全不同：

所以，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求出來的是空間曲線的切線斜率。

對比圖1和圖2，可以看出，不管全導(dǎo)數(shù)還是偏導(dǎo)數(shù)，其復(fù)合函數(shù)的形式都是z=f(u,v)。但對于全導(dǎo)數(shù)，中間變量u,v都是同一個(gè)變量 t 的函數(shù)，因?yàn)樽罱K變量只有一個(gè)，所以求出的結(jié)果實(shí)際上就是一個(gè)導(dǎo)數(shù)，稱為全導(dǎo)數(shù)；對于偏導(dǎo)數(shù)，中間變量u，v 則是二元變量 x,y 的函數(shù)，正是因?yàn)樽兞康膫€(gè)數(shù)多于一個(gè)，才存在偏導(dǎo)數(shù)的可能。只要u,v中的最終變量變成一個(gè)，偏導(dǎo)數(shù)就變成了全導(dǎo)數(shù)。

無論全導(dǎo)數(shù)還是偏導(dǎo)數(shù)，都是相對于復(fù)合函數(shù)的最終變量個(gè)數(shù)來區(qū)分的。

全導(dǎo)數(shù)的中間變量u,v可以增加，但最終變量只能是一個(gè)（t）。

偏導(dǎo)數(shù)無論中間變量u,v還是最終變量x,y,變量個(gè)數(shù)都可以增加。

簡單總結(jié)：

1：全導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)的復(fù)合函數(shù)的最終變量，前者一個(gè)，后者兩個(gè)或者更多。

2：全導(dǎo)數(shù)的意義是切平面的高度變化率，而偏導(dǎo)數(shù)的意義是切線的斜率。