個(gè)人看來(lái)，最經(jīng)典最常用的網(wǎng)格質(zhì)量判據(jù)，莫過(guò)于雅可比比率(Jacobian Ratio)，也就是ICEM軟件中的Determinant 2×2×2。

1. ICEM軟件Determinant 2×2×2 的定義? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?行列式Determinant（更恰當(dāng)?shù)囟x為相對(duì)行列式）是雅可比矩陣的最小行列式除以雅可比陣的最大行列式的比值，即雅可比比率(Jacobian Ratio)。其中每個(gè)行列式在網(wǎng)格元素的每個(gè)節(jié)點(diǎn)處計(jì)算，可用于所有線性六面體、四面體和金字塔網(wǎng)格元素。雅可比比率(Jacobian Ratio)的范圍為-1~1。其值1表示完全規(guī)則的網(wǎng)格元素，0表示元素在一條或多條邊中退化，負(fù)值表示反向元素。

? ? ? ?更準(zhǔn)確地說(shuō)，正常網(wǎng)格的雅可比比率(Jacobian Ratio)取值范圍為0-1。比值為1時(shí)表示為完美網(wǎng)格，比值越低表示網(wǎng)格越差。負(fù)值表示存在負(fù)體積網(wǎng)格，不能被求解器接受。

2.?Determinant 2×2×2——雅可比比率(Jacobian Ratio)

若有坐標(biāo)系變換

根據(jù)全微分關(guān)系

? ? ? ?當(dāng)計(jì)算圖4中的網(wǎng)格單元的某一頂點(diǎn)的雅克比行列式時(shí)，就需要通過(guò)頂點(diǎn)和同一頂點(diǎn)三條矢量構(gòu)建一個(gè)平行六面體，如圖6所示。

考慮坐標(biāo)系中的一個(gè)體積元（u,v,w）-（u+du,v+dv,w+dw）， 一般情況下（不需要是正交曲線坐標(biāo)系），體積元為平行六面體，起點(diǎn)為（u,v,w）的三條棱對(duì)應(yīng)的矢量分別為

由于平行六邊形的體積是同一頂點(diǎn)三條矢量的混合積。因此，網(wǎng)格頂點(diǎn)和其三條矢量對(duì)應(yīng)的平行六邊形體積（d），公式如下所示：

其中， ?叫做雅可比行列式。

長(zhǎng)方體(又稱矩體，cuboid)是底面為長(zhǎng)方形的直四棱柱（或上、下底面為矩形的直平行六面體）。實(shí)際上，dudvdw為原空間中的對(duì)應(yīng)的同頂點(diǎn)的長(zhǎng)方體的體積,而且長(zhǎng)寬高取對(duì)應(yīng)的平行六邊形的同一頂點(diǎn)三條矢量的長(zhǎng)度。

從而得到下式

綜上所述，代表經(jīng)過(guò)變換后的空間與原空間的面積（2維）、體積（3維）等等的比例，也有人稱縮放因子。個(gè)人認(rèn)為，實(shí)際上是基于體積對(duì)頂點(diǎn)和頂點(diǎn)三矢量對(duì)應(yīng)的平行六面體相對(duì)于頂點(diǎn)和頂點(diǎn)三矢量對(duì)應(yīng)的正六面體的偏差做出的度量。

將網(wǎng)格的每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的均作出運(yùn)算，然后得出的最小值和最大值的比值，即雅可比比率(Jacobian Ratio)。

3.?雅可比比率(Jacobian Ratio)——Determinant 3×3×3

ICEM軟件中的Determinant 3×3×3，評(píng)判指標(biāo)僅用于六面體網(wǎng)格，與Determinant2×2x2不同的是，單元邊上的中心點(diǎn)會(huì)被增加至雅克比計(jì)算中，從而得到雅克比比率(Jacobian Ratio)。