給一個輕彈簧，彈簧一端固定，一端與質(zhì)量為m的滑塊相連，將滑塊拉離平衡點，，不計一切摩擦阻力彈簧將會作循環(huán)往復(fù)的周期運動，怎么推導(dǎo)其周期公式呢

高中階段，課本并沒有給出推導(dǎo)，只是冷冰冰地給出其位移隨時間的變化表達(dá)式和周期公式

在許多人看來，其周期公式的推導(dǎo)需要依賴二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解，其實并不然，其實只需要高中最基本的求導(dǎo)就可以完成公式的推導(dǎo)

如果我們假設(shè)振幅為，在任意時刻的速度為v，彈簧拉伸或壓縮長度為x

根據(jù)能量守恒，我們可以得到：

如果我們對其稍加變形：

由于是一個常數(shù)，所以如果我們將??和? 看作變量的話，這很明顯是一個半徑為?的圓的方程

由此我們可以得到?和??的參數(shù)方程：

?

?

毫無疑問，A是一個關(guān)于時間的函數(shù)，但我們暫時還不知道它的表達(dá)式長什么樣

又由于對時間求導(dǎo)可以得到速度，所以我們對?求導(dǎo)可得

?

（表示對時間求導(dǎo)后的導(dǎo)函數(shù)）

將其帶入??

即可得到

（負(fù)號表示在圖像中彈簧振子的狀態(tài)坐標(biāo)以順時針方向繞原點運動）

便是運動的角速度，由計算可得角速度是一個定值

所以彈簧振子的運動周期就是

由于角速度是個定值，所以隨時間呈一次線性關(guān)系且在圖像中斜率為

即，將其帶回即可得到位移隨時間變化的表達(dá)式。

如有錯誤，還望同志們幫我指出