（這次是真的初中可看?。。。?/p>

本期靈感來(lái)源：

時(shí)間是在今年的一月30號(hào)（別問(wèn)我為什么記的這么清楚，問(wèn)就是想了一天）

當(dāng)我試著用Desmos還原該題的圖時(shí)（我經(jīng)常用解析幾何做平面幾何），遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題：過(guò)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)做一已知圓的切線，這條切線的斜率是怎樣的？

起初，我嘗試在網(wǎng)上找相關(guān)的公式，可是花了很多時(shí)間，無(wú)一例外找到的都是過(guò)圓上一點(diǎn)作切線，其斜率與該點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系

于是，在求助無(wú)果后，我決定自行研究

首先，對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中一圓

C:(x-a)2+(y-b)2=r2

以及圓外一點(diǎn)作該圓的切線（如圖）

K(u,v)

若直接計(jì)算，其計(jì)算量一定是很大的，此時(shí)我們不妨將圓與點(diǎn)同時(shí)平移，在保持其相對(duì)位置不變以及切線斜率不變的情況下，使得圓的圓心移動(dòng)到原點(diǎn)上，這可以大大降低我們的計(jì)算量

此時(shí)，圓的方程變?yōu)椋?/span>

C':x2+y2=r2

而新的點(diǎn)的坐標(biāo)為

K'(u-a,v-b)

我們令m=u-a,n=v-b,則有K'(m,n)

現(xiàn)在圖變?yōu)椋?/span>

這時(shí)我們?cè)儆懻撔甭逝c各個(gè)常數(shù)的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)單很多

我們?cè)O(shè)直線解析為：

y=k(x-m)+n

聯(lián)立直線解析式與圓的方程，得到：

┏━x2+y2=r2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- ①

┃

┗━y=k(x-m)+n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-②

將②式代入①式并展開(kāi)，得到：

x2+k2x2+k2m2+n2-2k2mx+2knx-2kmn=r2

整理得到：

(1+k2)x2+(2kn-2k2m)x+(k2m2+n2-2kmn-r2)=0

得到這個(gè)關(guān)于x的方程后，我們注意到這點(diǎn)：

圓的切線與圓有且僅有一個(gè)切點(diǎn)

也就是說(shuō)：這個(gè)方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即Δ=0，這也是我們整理原方程的原因，以便準(zhǔn)確的找到二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)

將三者代入Δ=b2-4ac，得到：

(2kn-2k2m)2-4(k2+1)(k2m2+n2-2kmn-r2)=0

展開(kāi)得到：

4k2n2+4k?m2-8k3mn-4k?m2-4k2n2+8k3mn+4k2r2-4k2m2-4n2+8kmn+4r2=0

我們驚奇的發(fā)現(xiàn)：k的三次項(xiàng)與四次項(xiàng)以及部分二次項(xiàng)都可以被消掉?。ㄒ延貌煌伾珮?biāo)出）

于是將該式整理成關(guān)于k的一元二次方程：

(4r2-4m2)k2+(8mn)k+(4r2-4n2)=0

此時(shí)對(duì)k求解即可得到直線的斜率k?,k?為：

那么現(xiàn)在，我們就得到了過(guò)圓外任意一點(diǎn)（記住，m,n不是該點(diǎn)的坐標(biāo)，是平移后的坐標(biāo)，要用u-a和v-b代入），作圓的切線，其斜率與點(diǎn)的坐標(biāo)、圓的方程中各數(shù)的關(guān)系

但是，不難看出這樣一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)|r|=|m|時(shí)，整個(gè)式子將會(huì)失去意義，但是|r|=|m|的情況是顯然存在的，就像下面這張圖：

顯然，其中橙色切線的斜率為∞，即x=u，那另一條呢？

當(dāng)處于這種情況時(shí)，我們將圓的圓心移至原點(diǎn)，會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為：

P(-r,v)或P(r,v)

設(shè)綠色直線的解析式為：

y=k?(x±r)+n

我們使用同上文中相同的方法，同樣可以把k?求出，這里不住過(guò)多的贅述，直接給出結(jié)果：

這點(diǎn)作為練習(xí)，交由讀者自行求解

（特此說(shuō)明一下這里要感謝@若鍋鍋的糾正，由于K'存在兩個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，因而k?存在兩個(gè)互為相反數(shù)的解，即k?與k?這點(diǎn)我之前沒(méi)有注意到，給出了不全面的答案，在此向各位道歉）

總結(jié)一下，解決這個(gè)問(wèn)題，要點(diǎn)在于需要靈活運(yùn)用當(dāng)一個(gè)一元二次方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，b2-4ac=0的條件，將聯(lián)立后關(guān)于x的方程轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的方程，從而將k的值解出來(lái)

還有一點(diǎn)很重要，要考慮到當(dāng)前解所不能囊括的特殊情況，然后進(jìn)行分類討論，才能保證不漏解，得到問(wèn)題的完整答案，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中不可貨缺的思想

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專欄中使用的圖表：

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