關(guān)于本題的一般性結(jié)論

（審核大人ballUU，內(nèi)容都寫到圖片里面了，傳不了公式更影響觀感）

Latex 版 放在下面

設(shè)$f(x)$是$[0,+\infty)$上凸函數(shù)，求證：

$$F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt$$

證明:目的 將函數(shù)線性化，這樣才能應(yīng)用凸函數(shù)的定義(沒有說是可導(dǎo)的)

$$F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}f(t)d\frac{t}{x}=\int_{0}^{1}f(ux)du ,(u=\frac{t}{x})$$

$$\forall\lambda\in(0,1),\forall x_1,x_2>0 $$ $$\begin{aligned}

?F[\lambda x_1+(1-\lambda)x_2]=\int_{0}^{1}f[u(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)]du=\int_{0}^{1}f[u\lambda x_1+u(1-\lambda)x_2]du\\\le \int_{0}^{1}[\lambda f(u x_1)+(1-\lambda)f(ux_2)]du=\lambda F(x_1)+(1-\lambda)F(x_2)

\end{aligned}$$

故$F(x)$為凸函數(shù)