第六章 無窮小的比較

一、知識點

1. 兩個無窮小的和、差、積都是無窮??；商不一定
2. 無窮小比階：（注：下面的定義中，α和β都是x在同一變化過程中的無窮?。?/span>
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   04:24

   ?
3. 等價無窮小代換：
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   14:17

   ?
4. 未定式：
   ?

   15:21

   ?
   （0/0, ∞/∞...那7個）
5. 理論基礎(chǔ)：
6. β~α等價于β=α+o(α)
7. 設(shè)α~α1，β~β1且lim (β1/α1)存在，則lim(β/α)=lim (β1/α1)
8. 常用的等價無窮小：
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   22:27

   ?
9. x的一階無窮小的兩兩之差都是三階無窮?。ú贿^系數(shù)有差別），和還是一階無窮小記憶：
   ?

   25:30

   ?
10. x-sinx
11. arcsinx-x
12. tanx-x
13. x-arctanx
14. x-ln(1+x)
15. 其他常用的那幾個 記憶：
    ?

    27:56

    ?
16. 推論記憶：
    ?

    33:32

    ?
17. 代換原則：
    ?

    35:31

    ?
18. 乘除因子直接換
19. 加減滿足原則后再換
20. 上下同階原則，比泰勒妙
21. 見圖1
    ?

    50:36

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    ，感覺這個直接用泰勒也行。

圖1：

二、證明（注：下面的定義中，α和β都是x在同一變化過程中的無窮?。?/span>

1. 證明“β~α等價于β=α+o(α)” ：
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   16:31

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2. 證明“設(shè)α~α1，β~β1且lim (β1/α1)存在，則lim(β/α)=lim (β1/α1) ” ：
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   20:20

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3. 證明常用的等價無窮小：
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   25:35

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4. 證明有指數(shù)的式子，考慮用e^(lnx)構(gòu)造
5. 推論證明：
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   33:32

   ?
6. 證明加減代換原則的第二條：
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   50:30

   ?

三、計算

1. 一道利用上下同階原則，以及x的一階無窮小之差推論做的妙題：
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   41:38

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2. 聽了題1，第一次做題2，錯。還是沒有體會好上下同階原則：
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   46:38

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3. 使用加減代換原則的第二條做的計算：
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   53:09

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4. ?

   01:03:12

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5. 解法1：提e的arcsinx次方，湊無窮小。arctanx-arcsinx可用泰勒
6. 解法2：兩項相減，都是e的次方形式，考慮用拉格朗日中值定理
7. 注意誰減誰
8. 推論見圖2
9. 冪指函數(shù)，取指又取對，化成e^x形式：
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   01:06:35

   ?
10. ?

    01:12:38

    ?
11. 法1：上下同階原則
12. 法2：加一減一，善于湊配，湊出無窮小

圖2：