參數(shù)方程

2023-08-05 22:55 作者:666chaoyue 0人讀過 | 我要投稿

7.1 曲線的參數(shù)方程

我們先從一個例子入手，相信大家在物理上都學過。

在某處發(fā)射炮彈，初速為v0，發(fā)射角為α，求炮彈運動的軌道方程（此處我們略去空氣阻力不計）。

解：設發(fā)射點O為坐標原點。過點 O 的水平線為x 軸，y 軸方向垂直向上。建立直角坐標系

根據(jù)運動學，初速度v0可分解為

水平方向分速vx= v0cosα;

垂直方向分速vy= v0sinα。

假如沒有地球引力的作用，那么經(jīng)過時刻t,炮彈將作勻速直線運動到達T點，OT=v0t.。但事實上炮彈受到地心引力的作用，到達點 P 的位置。不妨設點 P的標為(x，y)?？梢娺@時要直接得出x和y之間的相依關系是有些困難，但卻易分別找出 x、y 對時間t的依賴關系。

在不計空氣阻力的情況下，在時刻t，點 P的橫坐標是以v0cosα為初速度的勻速直線運動的距離；縱坐標是以 v0sinα為初速度的上拋運動的距離，即

x=(v0cosα)t

y=(v0sinα)t-1/2gt^2(0≤t≤t*)? ?......(1)

其中g為重力加速度，t*表示炮彈回到地面的時時刻,如果要求出t*,只須在（1）的第二式中令y=0,得t=0及t=2v0sinα/g，它們分別是炮彈運動的開始財刻和回到地面的時刻,因此t*=2v)sina/g

這個例子告訴我們:對每一個時刻:(0≤t≤t*),由(1)就可得到x和y的一組對應值，也就是炮彈在時刻t的位置,即運動軌道上的一個點P.當t從0連續(xù)變到t*,動點 P就描出運動軌道OA;反過來,運動軌道上的任意一P(x,y)是炮彈在某一時刻的位置,因而一定能由點 P(x,y)通過(I)而得到某一個值t1，因此(1)就是炮彈運動軌跡方程.我們把(1)中的第三個變量叫做參變數(shù)，簡稱為參數(shù),稱(1)為炮彈(或拋射體)運動軌道的參數(shù)方程.而把坐標方程叫做普通方程。

如果從(1)中的第一式解出 t,代人第二式,得

y = xtana-g/(2v0^2cos^2a)x^2(0≤x≤x*) ......(2)

這就是炮彈運動軌道在直角坐標系下的普通方程.由此可見,它表示拋物線的一段弧OA.這里的工*可由t=t”得出,即x*=v0^2sin2a/g.因此(1)是拋物線弧OA的參數(shù)方程.

(1)和(2)是同一個炮彈運動軌道的兩種不同的數(shù)學表現(xiàn)形式.但各有其特點,如要求炮彈在時刻:的位置,用方程(2)就不方便,而應用方程(1),既明了求解又簡捷,但從(1)不易看出運動軌道是拋物線,而從(2)就容易看出這一點.

曲線的參數(shù)方程與曲線的直角坐標方程之間具有密切的關系。它們在一定條件下可以互相轉化，這里的一定條件就是尋求適當?shù)姆椒ㄏ?shù)或引進適當?shù)膮?shù)。下面通過舉例來進行討論。

已知參數(shù)方程,求普通方程? 關鍵在于消去參數(shù).消去參數(shù)的通常方法:代人消去法和應用三角恒等式

下面我們來看一道題感受一下

例1 將下列參數(shù)方程化為普通方程