本文是本人給出的2021年復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻高等代數(shù)的每周一題[問題2021A05]的解答

題目來自于復(fù)旦大學(xué)謝啟鴻教授在他的博客提供的每周一題練習(xí)

（鏈接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文僅供學(xué)習(xí)交流，如有錯(cuò)誤懇請(qǐng)指正！

[問題2021A05]設(shè)為階方陣,滿足:

其中.求證: .

解(方法一，變形配湊)

移項(xiàng)可得兩邊左乘，有

即

注意到我們令代入題中式子可得

從而可逆，于是.

(方法二，類似方法一，但直接代入)

二項(xiàng)式展開后移項(xiàng)，有

其中形式上是只有和的矩陣多項(xiàng)式,從而與可交換，而和也可交換

從而

(方法三，利用多項(xiàng)式理論)

設(shè)多項(xiàng)式，因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=a_m%2Ba_%7Bm-1%7D%2B%5Ccdots%2Ba_1%5Cneq0" alt="a_m%2Ba_%7Bm-1%7D%2B%5Ccdots%2Ba_1%5Cneq0">，從而，于是.

那么

我們代入矩陣，可以得到：

由題，，從而，有：

從而可逆，,由可交換，可得

從而

于是

注(1)方法一和方法二利用矩陣的操作，使用湊因子法“具體地”給出了的逆陣（實(shí)際上文中并沒有詳細(xì)寫出），從而證明，而方法三利用多項(xiàng)式理論證明了它的逆陣的存在性，沒有繁雜的計(jì)算，顯示出了多項(xiàng)式理論在解決某些問題時(shí)的強(qiáng)大

(2)本文可能與up主@SCHEME_maths 給出的解答類似，事實(shí)上本文的解法的思考以及撰寫是獨(dú)立完成的，但復(fù)旦大學(xué)高等代數(shù)每周一題2021A05思路分析與三種證法 - 嗶哩嗶哩 (bilibili.com)一文給出了解決這個(gè)問題的清晰思路，值得讀者參考.

(3)文末附上圖片格式的解法，有需要的讀者可以自行取用，僅供學(xué)習(xí)交流