泰勒 ( Taylor ) 級數(shù)

從圖2圖3可以看到，函數(shù)p(x)形式已知，現(xiàn)在的目的是把f(x)用p(x)的形式來表示出來。在

p(x)里面，系數(shù)ai是未知的。同時(shí)，要把f(x)用p(x)的形式來表示出來，則這兩個(gè)函數(shù)必須盡量一致。從圖3可以看出，當(dāng)f(x)與p(x)的高階導(dǎo)數(shù)相等的時(shí)候，兩條曲線將無限趨近一致。

那么，現(xiàn)在的問題就變成了如何確定圖2中p(x)的表達(dá)式的系數(shù)ai了，同時(shí)，又要盡量將這些系數(shù)和f(x)的高階導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來，因此，將圖2中p(x)的表達(dá)式改寫成

因?yàn)?br>

再由圖4可得:

如果包括誤差項(xiàng)，則：

對于麥克勞林級數(shù)

常用函數(shù)的麥克勞林公式：

以上的證明思路大概是：

1：先確定一個(gè)多項(xiàng)式P(x)，再假定要展開的函數(shù) f(x) 和這個(gè)多項(xiàng)式各階導(dǎo)數(shù)相等。

2：為了建立多項(xiàng)式系數(shù)和函數(shù) f(x) 各階導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，需要構(gòu)造一個(gè)特別的多項(xiàng)式（圖4）。

3：根據(jù)這個(gè)特別多項(xiàng)式得出系數(shù)ai和函數(shù) f(x) 在某一點(diǎn)x0各階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，從而得出泰勒展開式。