命題的對(duì)稱化改造（再談2022全國(guó)乙圓錐曲線）

2022-06-29 14:31 作者:數(shù)學(xué)老頑童 0人讀過 | 我要投稿

（2022全國(guó)乙，20）已知橢圓? $E$ 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為 $x$ 軸、 $y$ 軸，且過 $A%5Cleft(%200%2C-2%20%5Cright)%20$ 、 $B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C-1%20%5Cright)%20$ 兩點(diǎn).

（1）求 $E$ 的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn) $P%5Cleft(%201%2C-2%20%5Cright)%20$ 的直線交 $E$ 于 $M$ 、 $N$ 兩點(diǎn)，過 $M$ 且平行于 $x$ 軸的直線與線段 $AB$ 交于點(diǎn) $T$ ，點(diǎn) $H$ 滿足 $%5Coverrightarrow%7BMT%7D%3D%5Coverrightarrow%7BTH%7D$ .證明：直線 $HN$ 過定點(diǎn).

解：（1）設(shè) $E$ 的方程為 $mx%5E2%2Bny%5E2%3D1$ ，

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=E" alt="E">過 $A%5Cleft(%200%2C-2%20%5Cright)%20$ 、 $B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%2C-1%20%5Cright)%20$ 兩點(diǎn)

所以 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09m%5Ccdot0%5E2%2B%20n%5Ccdot%5Cleft(-2%5Cright)%5E2%20%3D1%5C%5C%09m%5Ccdot%5Cleft(%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2B%20n%5Ccdot%5Cleft(-1%5Cright)%5E2%20%3D1%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

解得 $%5Cbegin%7Bcases%7D%09m%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2C%5C%5C%09n%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D.%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D$

所以 $E$ 的方程為 $%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B4%7D%3D1$ .

（2）先畫個(gè)圖

先猜再證：直線 $NH$ 過定點(diǎn) $A$ ，即 $N$ 、 $H$ 、 $A$ 三點(diǎn)共線.

設(shè) $M%5Cleft(%20x_1%2Cy_1%20%5Cright)%20$ 、 $N%5Cleft(%20x_2%2Cy_2%20%5Cright)%20$ ，

因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=M" alt="M">、 $H$ 關(guān)于 $T$ 對(duì)稱，

所以 $x_1%2Bx_H%3D2x_T$ ，所以

$%5Cbegin%7Baligned%7D%09%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BMA%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BHA%7D%7D%26%3D%5Cfrac%7Bx_1%7D%7By_1%2B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx_H%7D%7By_H%2B2%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7Bx_1%7D%7By_T%2B2%7D%2B%5Cfrac%7Bx_H%7D%7By_T%2B2%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_H%7D%7By_T%2B2%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7B2x_T%7D%7By_T%2B2%7D%5C%5C%09%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7Bk_%7BAB%7D%7D%3D3%5C%5C%5Cend%7Baligned%7D$

欲證 $N$ 、 $H$ 、 $A$ 三點(diǎn)共線，

只需證 $k_%7BNA%7D%3Dk_%7BHA%7D$ ，

只需證 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BMA%7D%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk_%7BNA%7D%7D%3D3%7D$ .

橢圓 $E$ 的方程可化為

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2-4y-4%7D%7B4%7D%3D1$ ，

整理得 $%5Ccolor%7Bred%7D%7B%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%3D0%7D$ ，

設(shè)直線 $MN$ 的方程為

$mx%2Bn%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%3D1$ ，

因其過點(diǎn) $P$ ，

所以 $m%20%5Ccdot%201%2Bn%5Cleft(%20-2%2B2%20%5Cright)%20%3D1$ ，

解得 $m%3D1$ ，

所以直線 $MN$ 的方程為

即 $%5Ccolor%7Bred%7D%7Bx%2Bn%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%3D1%7D$ .

聯(lián)立橢圓 $E$ 與直線 $MN$ ，得

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5Cleft%5B%20x%2Bn%20%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5Cright%5D%20%3D0$

展開

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%7D%7B4%7D-x%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20-n%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%3D0$

并項(xiàng)

$%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D-x%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%2B%5Cleft(%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D-n%20%5Cright)%20%5Cleft(%20y%2B2%20%5Cright)%20%5E2%3D0$