也許關于宇宙最值得注意的事實是，宇宙中的每一個粒子，無論何時、何地、在任何條件下，都遵循完全相同的物理定律。自然界遵循的規(guī)則對萬物來說都是相同的，通過找到描述這些規(guī)則的數(shù)學結構，我們也可以描述自然。

通常，發(fā)現(xiàn)一種新的數(shù)學結構，會產(chǎn)生一種新物理框架的發(fā)展，而在該框架準確描述宇宙的地方，就可以推導出新的物理學。對于宇宙來說，最令人著迷的數(shù)學可能性之一是八元數(shù)。

八元數(shù)有機會成為宇宙如何運行的答案？還是僅僅是炒作？下面讓我們從頭開始：從物理基礎上的數(shù)學開始，一起來探索答案吧！如果你在數(shù)學上所掌握的只是實數(shù)概念，你仍然可以走得很遠。從伽利略到牛頓，從庫侖到麥克斯韋，整個經(jīng)典物理學都建立在實數(shù)的基礎上。力定律、運動方程和更多的東西都可以推導出來，而不需要求助于比實數(shù)集（包括變量、常數(shù)和相關函數(shù)）更高級的數(shù)學。

但這已經(jīng)需要一個花了幾千年才發(fā)展起來的數(shù)學飛躍：將負數(shù)包括在內(nèi)的飛躍。當你把球扔向空中，問它什么時候會落地，你會得到兩個關于時間的答案：一個是肯定的，一個是否定的。有時，任何一個答案都可能是正確的，但僅靠數(shù)學不能告訴你適用于哪種情況。為此，你需要問題的物理條件，這就是你如何決定哪個答案是相關的。但是，實數(shù)?（即使同時包括正數(shù)和負數(shù)?）其數(shù)學結構的復雜性也是有限的。

例如，任何實數(shù)，當你平方它時，不管你開始的實數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，總是得到一個正數(shù)。但是，如果嘗試取實數(shù)的平方根，則只有正數(shù)才會給出實數(shù)結果。負數(shù)的平方根沒有很好的定義，如果我們把自己限制在實數(shù)集上，無論如何都不是這樣。但是有一種新的數(shù)學結構可以添加到折疊中，它不僅可以定義負數(shù)的平方根，還可以執(zhí)行僅使用實數(shù)不可能進行的新數(shù)學運算。這一進步需要完全引入一組新的數(shù)：虛數(shù)和復數(shù)，其中虛數(shù)i被定義為√(-1)。

實數(shù)只有一個實數(shù)部分，由實數(shù)定義：a，但是復數(shù)既有實數(shù)部分，也有虛數(shù)部分a+bi，其中a是實數(shù)部分，bi是虛數(shù)部分(B也是實數(shù))。通過從實數(shù)學到復數(shù)的數(shù)學(包括復雜群論的數(shù)學)，一套全新的物理現(xiàn)象可能會出現(xiàn)。量子物理學不同尋常地利用了這一點，指出執(zhí)行量子操作的順序產(chǎn)生了巨大差異。對于實數(shù)，你是乘2*3還是乘3*2都無關緊要；你會得到同樣的答案，同樣對于復數(shù)，(2+5i)*(3-4i)與(3-4i)*(2+5i)相同。

但是對于量子操作者來說，順序是非常重要的，如果你先測量一個量子粒子在x方向上的自旋，然后再在y方向上測量，這個粒子的性質(zhì)，將與你以相反順序測量它的性質(zhì)有根本不同。這個屬性稱為非交換性?，需要復數(shù)的數(shù)學而不是實數(shù)的數(shù)學（特別是復向量空間）才能解釋它。一個復數(shù)的平方可以得到一個負的結果，這一事實催生了狄拉克方程革命性的數(shù)學解，預測了“負量子態(tài)”的存在。狄拉克最初稱這些狀態(tài)為“空穴”。

但不久之后，物理學家們意識到真正發(fā)生了什么：這是反電子或正電子形式的反物質(zhì)第一個理論預測，其實驗證實是現(xiàn)代量子物理學發(fā)展過程中最重要的發(fā)現(xiàn)之一。你可能會直觀地認為，如果能找到一種更復雜、更一般的數(shù)學結構來擴展復數(shù)?（就像復數(shù)擴展實數(shù)?的方）就可以找到一個新物理應用。如果你試圖取一個復數(shù)的平方根，不管它的實部和虛部是正數(shù)還是負數(shù)，總是會得到一個復數(shù)，所以這條路線不會給你帶來更豐富的數(shù)學結構。

但是有一個固有的非交換擴展可以應用于復數(shù)：不是讓i2=-1，而是定義三個獨立的實體，i，j和k，其中i2=j2=k2=-1，但是組合i*j*k=-1。這組四重因子，得到的不是實數(shù)(A)或復數(shù)(a+bi)，而是所謂的四元數(shù)：a+bi+cj+dk。四元數(shù)在數(shù)學中非常有用，但它們也與大量的物理應用有關。復數(shù)表示二維平面（具有實軸和虛軸）中的點，而四元數(shù)具有足夠的維度和自由度來描述三維空間中的點。洛倫茲變換使用四元數(shù)組，它描述了當接近光速時，長度如何收縮和時間如何膨脹。

廣義相對論可以與現(xiàn)代代數(shù)中的四元數(shù)聯(lián)系起來，弱相互作用涉及四元數(shù)，三維空間旋轉(zhuǎn)也是如此。如果將系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)360度，某些量子現(xiàn)象就會反轉(zhuǎn)，但如果你再次旋轉(zhuǎn)720度，就會恢復正常。四元數(shù)基本上是不可交換的，并解釋為什么將三維對象繞一個軸旋轉(zhuǎn)，然后再繞另一個軸旋轉(zhuǎn)，最終狀態(tài)與繞相同的兩個軸旋轉(zhuǎn)相同的對象不同，但順序相反。所以，你可能會想，能把四元數(shù)延伸得更遠嗎？有沒有其他方法來利用數(shù)學，在那里有另一種選擇來打開一個更豐富的結構？

答案是肯定的，但這是有代價的，更復雜的數(shù)學結構的下一步是從四元數(shù)到八元數(shù)，每個八元數(shù)有八個元素。對于四元數(shù)，乘法順序很重要，因為Q1*Q2與Q2*Q1不同，但四元數(shù)仍然是可結合的。如果有三個四元數(shù)(q1、q2和q3)，則(q1*q2)*q3=q1*(q2*q3)。但是如果你有三個八元數(shù)，它們既是非交換的，也是非結合的；乘法順序不僅重要，而且以這種全新的方式很重要。四元數(shù)的數(shù)學與許多已知物理理論有關，而八元數(shù)的數(shù)學描述是超越已知物理的運算。

描述出現(xiàn)在擴展中的現(xiàn)象，如大統(tǒng)一理論(GUTS)和弦理論。雖然八元數(shù)在物理學中的應用還只是猜想，但有很多很好的理由讓我們對這些想法感興趣。八元數(shù)可以告訴我們，從理論上講，構建超對稱量子場論需要多少時空維度。它們與特殊的李群聯(lián)系在一起，這些特殊的李群被用來構建量子場，并通過E(8)群在超弦理論中發(fā)揮作用。我們在上文中討論的四類數(shù)（實數(shù)、復數(shù)、四元數(shù)和八元數(shù)）在抽象代數(shù)的數(shù)學領域中是特殊的。

不會是宇宙運行的“答案”

這四類代數(shù)是唯一可以將一個數(shù)除以除零以外的任何數(shù)，而不會得到未定量的代數(shù)，這使它們成為唯一存在的賦范除法代數(shù)。如果你試圖將八元數(shù)擴展成一個16元的代數(shù)，就會得到七元數(shù)，它們遵循它們自己的非交換、非結合乘法規(guī)則，但如果試圖合并除法，就會失敗。八元數(shù)本身永遠不會是宇宙萬物如何運行的“答案”，但它們確實提供了一種強大、廣義的數(shù)學結構，具有自己獨特的性質(zhì)。它包括實數(shù)、復數(shù)和四元數(shù)的數(shù)學，但也引入了從根本上獨特的數(shù)學性質(zhì)。

這些性質(zhì)可以應用于物理學，以做出新穎的預測，八元數(shù)可以給我們一個想法，從已知物理的擴展來看，哪些可能性可能是令人信服的，哪些可能不那么有趣，但八元數(shù)本身并沒有預測到具體的觀測結果。八元數(shù)之于物理學，就像塞倫斯之于尤利西斯，八元數(shù)也絕對有誘惑力，八元數(shù)數(shù)學結構具有難以置信的豐富性，但沒有人知道這種豐富性對我們的宇宙是否意味著什么，更多的宇宙奧秘和數(shù)學，要有待進一步的發(fā)現(xiàn)和探索，例如從1、2、3…9之后，人類才突破了有0的概念！

博科園｜文：Ethan Siegel/Forbes Science/S.W.A.B

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