這道題是我自己編的。題目：

對(duì)于任意的n次多項(xiàng)式f(x)，若滿(mǎn)足f(0),f(1),f(2),...,f(n) ∈ Z，求證：?t ∈ Z,f(t) ∈ Z

解法：

使用數(shù)學(xué)歸納法。

設(shè)命題P(k)為"對(duì)于任意的k次多項(xiàng)式f(x)，若滿(mǎn)足f(0),f(1),f(2),...,f(k) ∈ Z，

?t ∈ Z,f(t) ∈ Z"

證明P(0)成立：

顯而易見(jiàn)。（任意一個(gè)零次多項(xiàng)式都是平行于x軸的，如果有一個(gè)y值是整數(shù)，那所有的y值就都是整數(shù)

了）

假設(shè)P(k?1)成立，證明P(k)也成立：

假設(shè)P(k ? 1)成立。對(duì)于任意一個(gè)滿(mǎn)足f(0),f(1),f(2),...,f(k) ∈ Z的k次多項(xiàng)式f(x)，考慮函數(shù)g(x) = f(x + 1) ? f(x)。

這個(gè)函數(shù)是一個(gè)k ? 1次多項(xiàng)式（展開(kāi)一下f(x + 1) ? f(x)的k次項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)它被抵消了）。

然后∵ f(0),f(1) ∈ Z ∴ g(0) ∈ Z，∵ f(1),f(2) ∈ Z ∴ g(1) ∈ Z ……

∵ f(k ? 1),f(k) ∈ Z ∴ g(k ? 1) ∈ Z。所以g(0),g(1),...,g(k ? 1) ∈ Z。而根據(jù)P(k ? 1)，則?t ∈ Z,g(t) ∈ Z。

由g(x) = f(x + 1) ? f(x)，可得g(x) + f(x) = f(x + 1)。因?yàn)?t ∈ Z,g(t) ∈ Z，所以根據(jù) f(k) ∈ Z遞推可得?t ∈ Z且t > k,f(t) ∈ Z。

同理，f(x) ? g(x ? 1) = f(x ? 1)。因?yàn)?t ∈ Z,g(t) ∈ Z，所以根據(jù)f(0) ∈ Z遞推可得 ?t ∈ Z且t < 0,f(t) ∈ Z。

由題設(shè)，?t ∈ Z且0 ≤ t ≤ k,f(t) ∈ Z 綜上所述，?t ∈ Z,f(t) ∈ Z，P(k)成立，命題得證。■