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波動(dòng)率是一個(gè)重要的概念，在金融和交易中有許多應(yīng)用。它是期權(quán)定價(jià)的基礎(chǔ)。波動(dòng)率還可以讓您確定資產(chǎn)配置并計(jì)算投資組合的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值 (VaR)。甚至波動(dòng)率本身也是一種金融工具，例如 CBOE 的 VIX 波動(dòng)率指數(shù)。然而，與證券價(jià)格或利率不同，波動(dòng)性無(wú)法直接觀察到。相反，它通常被衡量為證券或市場(chǎng)指數(shù)的收益率歷史的統(tǒng)計(jì)波動(dòng)。這種類(lèi)型的度量稱(chēng)為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率或歷史波動(dòng)率。衡量波動(dòng)性的另一種方法是通過(guò)期權(quán)市場(chǎng)，其中期權(quán)價(jià)格可用于通過(guò)某些期權(quán)定價(jià)模型得出標(biāo)的證券的波動(dòng)性。Black-Scholes 模型是最受歡迎的模型。這種類(lèi)型的定義稱(chēng)為?隱含波動(dòng)率。VIX 基于隱含波動(dòng)率。

存在多種統(tǒng)計(jì)方法來(lái)衡量收益序列的歷史波動(dòng)率。高頻數(shù)據(jù)可用于計(jì)算低頻收益的波動(dòng)性。例如，使用日內(nèi)收益來(lái)計(jì)算每日波動(dòng)率；使用每日收益來(lái)計(jì)算每周波動(dòng)率。還可以使用每日 OHLC（開(kāi)盤(pán)價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)和收盤(pán)價(jià)）來(lái)計(jì)算每日波動(dòng)率。比較學(xué)術(shù)的方法有ARCH（自回歸條件異方差）、GARCH（廣義ARCH）、TGARCH（閾值GARCH）、EGARCH（指數(shù)GARCH）等。我們不會(huì)詳細(xì)討論每個(gè)模型及其優(yōu)缺點(diǎn)。相反，我們將關(guān)注隨機(jī)波動(dòng)率 (SV) 模型，并將其結(jié)果與其他模型進(jìn)行比較。一般來(lái)說(shuō)，SV 模型很難用回歸方法來(lái)估計(jì)，正如我們將在本文中看到的那樣。

歐元/美元匯率

我們將以 2003-2018 年 EUR/USD 匯率的每日詢(xún)價(jià)為例來(lái)計(jì)算每日波動(dòng)率。

1. subplot(2,1,1);

2. plot(ta,csl)

3. subplot(2,1,2);

4. plot(at,rtdan);

圖 1. 頂部：歐元/美元的每日匯率（要價(jià)）。底部：每日對(duì)數(shù)收益率百分比。

圖 2 顯示收益率中沒(méi)有序列相關(guān)性的依據(jù)。

1. [sdd,slodgdL,infaso] = estimaadte(Mddsdl,rtasd);

2. [aEass,Vad,lsagLd] = infer(EstMsssddl,rtsdn);

3. 


4. [hsd,pValasdue,dstat,ascValue] = lbqtest(reas,'lags',12)

5. [hs,pdValsue,sdtatsd,cVsalue] = lbqtest(resss.^2,'lags',12)

6. 


圖 2. 收益率相關(guān)性檢驗(yàn)。Ljung-Box Q 檢驗(yàn)（左下）沒(méi)有顯示顯著的序列自相關(guān)作為收益率。

然而，我們可以很容易地識(shí)別出絕對(duì)收益率值較大的時(shí)期集群（無(wú)論收益率的符號(hào)如何）。因此，絕對(duì)收益值存在明顯的序列相關(guān)性。

圖 3. 回歸平方的相關(guān)性檢驗(yàn)。

GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型

GARCH(1,1) 模型可以用?Matlab?的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)工具箱進(jìn)行估計(jì)。圖 4 和圖 5 中的 ACF、PACF 和 Ljung-Box Q 檢驗(yàn)未顯示殘差及其平方值的顯著序列相關(guān)性。圖 4 左上圖中的殘差項(xiàng)在視覺(jué)上更像白噪聲，而不是原始收益序列。

1. Mdls.dsVadjnce = garc(1,1);

2. [EsastMdl,EssddkjParamsCovf,lsdoggL,isdjngfo] = estimate(Msddl,rstan);

3. [Egf,hgV,logfgL] = inffgher(EstsdMdl,arstn);

4. gfh= Egh./sqrt(Vf);

圖 4. GARCH(1,1) 模型殘差的相關(guān)性檢驗(yàn)。

圖 5. GARCH(1,1) 模型殘差平方的相關(guān)性檢驗(yàn)。

1. plot(at,dad)

2. set(gsdcaa);

3. set(gasdca);

4. ylabel('GARCH Volatility h_t');

圖 6. GARCH(1,1) 模型的波動(dòng)率。

馬爾可夫鏈蒙特卡羅 (MCMC)

MCMC 由兩部分組成。?蒙特卡洛?部分處理如何從給定的概率分布中抽取隨機(jī)樣本。馬爾可夫?鏈?部分旨在生成一個(gè)穩(wěn)定的隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為馬爾可夫過(guò)程，以便通過(guò)蒙特卡羅方法順序抽取的樣本接近從“真實(shí)”概率分布中抽取的樣本。

然后我們可以迭代地使用?Gibbs 采樣?方法來(lái)產(chǎn)生一系列參數(shù)。經(jīng)常被丟棄，因?yàn)樗耸狗植颊；馐裁炊疾蛔?。后?yàn)分布是不完整的。Metropolis 采樣?方法和更通用的方法?Metropolis??-Hastings 采樣用于此場(chǎng)景。這兩種采樣方法更常用于難以制定完整條件后驗(yàn)分布的非共軛先驗(yàn)分布。

1. % --- MCMC

2. nmascmfgac = 10000;

3. bechvzta_mcmc = nan(nmc;dmc,1);

4. loxvgh_mcmc = nan(an,nmcjkldsmc);

5. alpha_mcmc = nan(nmcmssdc,length(alspdha0));

6. Sigmacvv_mcmc = nan(nmytsdcmc,1);

7. 


8. % --- 吉布斯抽樣：beta

9. rtnas_new = rtn./sqdssrt(exp(logshis)); % 重新格式化收益系列

10. x = 1./sqrt(exp(lsogshisd));

11. V_gfbeta = 1/(x'*x + 1/Sigsgfma_bdeta0);g

12. E_bgexta = V_bfgetfga*(beta0/Sifgma_beta0+gdfxf'*rtndf_new);

13. betxa = cnormrnd(E_beta,sqrt(fgV_bfdfgeta));

14. 


15. % --- Metropolis 抽樣：ht

16. 


17. loghn1 = alphjklai(1)+alphai(2)*(alphai(1)+alphai(2)*loghi(n-1));

18. loghf1 = [loghi(2:end); loghn1];前進(jìn)一步 ht 的 % log

19. loghb1 = [logh0;羅吉(1:end-1)];后退一步 ht 的 % log

20. % - 提出新的 ht

21. lojkghp = normrnd(lohghjkli,sijlgma_jlogjhp);

22. % - 檢查后驗(yàn)概率的對(duì)數(shù)比率

23. logr = log(normpdf(loghp, [ones(n,1),loghb1]*alphai',sqrt(Sigmavi))) + ...

24. 


25. 


26. % --- 吉布斯抽樣 alpha

27. zasdt = [ones(n-1,1),lokkghi(1:end-1)];

28. V_alpghas = inv( inv(Sigjkmahjg_alpjha0) + zt'*zt/Si;gmavkl;i);

29. E_aldfhpha = V_alpha*(inv(Sigmjhja_abvnl;'lpha0)*akllpha0' + zt'*loghi(2:end)/Smavi);

30. alvbphai =v mvnrnd(E_vbal,npnha,V_bnm,bvalpha);

31. 


32. % --- 吉布斯抽樣：Sigfmav

33. SfSR = sum((logfgjhi(2:ehgjnd)-zt*alphaighj').^2);

34. % 通過(guò) OLS 獲取 SSR 的替代方法

35. 


36. Sigjhavi = 1/randolhkm('Gamma',(nu0+n-1)/2,2/(nu0*Sigmavl;'k0+SSR));

37. 


隨機(jī)波動(dòng)率 (SV) 模型

對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行隨機(jī)建模始于 1980 年代初，并在 Jacquier、Polson 和 Rossi 的論文在 1994 年首次提供了隨機(jī)波動(dòng)率的明確證據(jù)后開(kāi)始適用。波動(dòng)率創(chuàng)新是 SV 和 GARCH 模型之間的主要區(qū)別。在 GARCH 模型中，時(shí)變波動(dòng)率遵循確定性過(guò)程（波動(dòng)率方程中沒(méi)有隨機(jī)項(xiàng)），而在 SV 模型中它是隨機(jī)的。

1. %% MCMC 用于隨機(jī)波動(dòng)率

2. % --- 先驗(yàn)參數(shù)

3. Sigwertma_aelpha0 = etdiagweetwr([0.4,0.4]); % 協(xié)方差

4. % - 對(duì)于 sigrmea^2_v

5. nu0 = 1;

6. SigemAV0 = 0.01；

7. 


8. % --- 使用 GARCH(1,1) 模型的初始值，以及 log(ht0) 的最小二乘擬合

9. bewtwai = EstMtydl.rtyConrtystatynt;

10. MrgeyDL = etyrffitytlm（）；

11. alpefdgrtyhai = Mdl.Cvxoertyefficients{:,1}';

12. Sigretyrxmavi = nanvar(Mderyl.Reyefsidrdtyeruals.Raw);

13. 


然而，要獲得概率分布的近似形式的歸一化因子并不簡(jiǎn)單。我們可以使用暴力計(jì)算來(lái)為每個(gè)可能的值生成一個(gè)概率網(wǎng)格，然后從網(wǎng)格中繪制。這稱(chēng)為 Griddy Gibbs 方法。或者，我們可以使用 Metropolis 算法。在該算法中，要從中提取的提議分布可以是任何對(duì)稱(chēng)分布函數(shù)。提議分布函數(shù)也可以是不對(duì)稱(chēng)的。但在這種情況下，在計(jì)算從 跳到 的概率比率時(shí)，需要包含附加項(xiàng)以平衡這種不對(duì)稱(chēng)性。這稱(chēng)為 Metropolis-Hastings 算法。

可以使用 Metropolis-Hastings 算法的更復(fù)雜的提議方法來(lái)減少序列中的相關(guān)性，例如 Hamiltonian MCMC。

1. subplot(4,1,1);

2. plot(beasdta_mcmc);

圖 8. 預(yù)燒burin-in后參數(shù)序列的自相關(guān)。紅線(xiàn)表示 5% 的顯著性水平。

結(jié)果與討論

去除burin-in后，我們從參數(shù)的真實(shí)高維聯(lián)合分布中得到可以近似隨機(jī)抽取的樣本的參數(shù)樣本集合。然后我們可以對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。例如，成對(duì)參數(shù)的聯(lián)合分布和每個(gè)參數(shù)的邊際分布如圖 9 所示。我們可以用聯(lián)合分布來(lái)測(cè)試這個(gè)說(shuō)法。顯然與其余參數(shù)不相關(guān)。正如預(yù)期的那樣，并且高度相關(guān)，使用它們的聯(lián)合后驗(yàn)分布來(lái)證明采樣的合理性。為了提高采樣效率，降低序列中樣本的相關(guān)性，我們可以通過(guò)采樣改進(jìn)上述算法，并從它們的三元聯(lián)合后驗(yàn)分布。然而，如果不是完全不可能的話(huà)，為不同先驗(yàn)分布的變量計(jì)算出一個(gè)緊密形式的后驗(yàn)分布是很麻煩的。在這種情況下，Metropolis-Hastings 抽樣方法肯定會(huì)發(fā)現(xiàn)它的優(yōu)勢(shì)。

圖 9. 成對(duì)參數(shù)聯(lián)合分布的散點(diǎn)圖（非對(duì)角面板）和參數(shù)邊緣分布的直方圖（對(duì)角面板）。

隨機(jī)波動(dòng)率及其置信帶是通過(guò)計(jì)算序列穩(wěn)定后采樣波動(dòng)率的均值和 2.5% 和 97.5% 分位數(shù)得到的。它繪制在圖 10 中。

1. h_mcmc = exp(logf_mdsmc);

2. nbudrin = 4000;

3. lb = quanile(h_mcd,bunn+1:end),0.025,2); ? % 2.5% 分位數(shù)

4. ub = quatgjeh_mcmc(nburhjkin+1:end)fhjk,0.975,2); ? % 97.5% 分位數(shù)

5. holdghfd on; box on;

6. plot(1:lengtgdhfh(t),V,'',dhfg1)

7. plot(1:length(t),mdfghean(h_mcmc(:,nburnhgdf:enddgfh2),'linekljwdth',1)s

圖 10. 4000 次burin-in迭代后隨機(jī)波動(dòng)率的后驗(yàn)平均值。對(duì)于置信帶，隨機(jī)波動(dòng)率的 95% 分位數(shù)間以紅色顯示。

SV 模型的隨機(jī)波動(dòng)性總體上與 GARCH 模型非常相似，但更加參差不齊。這是很自然的，因?yàn)?SV 模型中假設(shè)了額外的隨機(jī)項(xiàng)。與其他模型相比，使用隨機(jī)波動(dòng)率模型的主要優(yōu)點(diǎn)是波動(dòng)率被建模為隨機(jī)過(guò)程而不是確定性過(guò)程。這使我們能夠獲得序列中每個(gè)時(shí)間的波動(dòng)率的近似分布。當(dāng)應(yīng)用于波動(dòng)率預(yù)測(cè)時(shí)，隨機(jī)模型可以為預(yù)測(cè)提供置信度。另一方面，不利因素也很明顯。計(jì)算成本相對(duì)較高。

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