1.浮動(dòng)坐標(biāo)法（Floating Frame of Reference，F(xiàn)FR）

在系統(tǒng)每個(gè)柔性體上建立一個(gè)浮動(dòng)坐標(biāo)系，柔性體的剛體位移為浮動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)，柔性體的變形為柔性體內(nèi)任意點(diǎn)處相對(duì)浮動(dòng)坐標(biāo)系的位移。這樣可以將大范圍運(yùn)動(dòng)的剛體位移和柔性體的變形運(yùn)動(dòng)共同引入同一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程式中，因此計(jì)入了剛體運(yùn)動(dòng)和柔性體變形的耦合作用。

浮動(dòng)坐標(biāo)法可以確保柔性體在剛體運(yùn)動(dòng)下產(chǎn)生零應(yīng)變，符合客觀性條件。但是這種方法是基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的線性小變形位移假設(shè)，忽略了耦合變形量中的高階項(xiàng)。當(dāng)剛體的速度增加時(shí)，這些高階項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性態(tài)影響是明顯的。因此，浮動(dòng)坐標(biāo)法不適用于解決高速轉(zhuǎn)動(dòng)且具有大變形特點(diǎn)的柔性多體動(dòng)力學(xué)問題。此外，采用浮動(dòng)坐標(biāo)法建模時(shí)還具有“動(dòng)力剛化”的問題，必須在位移-應(yīng)變關(guān)系中引入非線性剛化項(xiàng)才能得到穩(wěn)定的結(jié)果。對(duì)于浮動(dòng)坐標(biāo)法的研究得到了國內(nèi)外大量學(xué)者的關(guān)注，并已經(jīng)研究得很成熟。

2.慣性坐標(biāo)系方法

對(duì)于經(jīng)歷大范圍運(yùn)動(dòng)和大變形的柔性系統(tǒng)，可采用慣性坐標(biāo)系方法處理。該類方法的特點(diǎn)是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)采用慣性坐標(biāo)系下的絕對(duì)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)描述，不再區(qū)分剛體運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)和彈性變形坐標(biāo)。共有兩種方法，第一種為大轉(zhuǎn)動(dòng)矢量法（Large? Rotation Vector Formulation，LRVF）。但是這樣的插值策略會(huì)導(dǎo)致坐標(biāo)的冗余及梁內(nèi)同一物質(zhì)點(diǎn)在位移場和轉(zhuǎn)動(dòng)場上的幾何構(gòu)型不一致的問題。

1996 年，Shabana提出了絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法（ANCF），該方法是非增量有限元方法，采用慣性坐標(biāo)系下的絕對(duì)位移和梯度向量（slope? vector）描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。位移和梯度均采用同一個(gè)形狀函數(shù)描述，這點(diǎn)區(qū)別于大轉(zhuǎn)動(dòng)矢量法。所得到的梁、板、殼單元均為等參單元，并且推導(dǎo)的系統(tǒng)質(zhì)量陣為定常，且不含科氏加速度及離心力項(xiàng)。這樣可以采用 Cholesky 分解技術(shù)和稀疏矩陣技術(shù)降低模型的維度和求解難度。此外，該方法中的彈性力計(jì)算以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)為基礎(chǔ)，計(jì)及了各個(gè)變形模態(tài)之間的耦合效應(yīng)，能準(zhǔn)確描述柔性體經(jīng)歷大范圍運(yùn)動(dòng)過程中變形現(xiàn)象，并可自動(dòng)解決浮動(dòng)坐標(biāo)法中的動(dòng)力剛化問題。最終的單元組裝在慣性坐標(biāo)系內(nèi)完成。此外，絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法由于采用梯度作為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，具有模擬任意復(fù)雜邊界的構(gòu)型，以及單元之間的約束方程為線性，這樣可在前處理階段生成統(tǒng)一的柔性體網(wǎng)格，降低了計(jì)算過程中模型的維度。絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法是非增量有限元方法，可以精確地描述多體系統(tǒng)大范圍運(yùn)動(dòng)和大變形的耦合動(dòng)力學(xué)特性。它的提出是多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究歷史中的重要進(jìn)展，促進(jìn)了多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論和有限元理論的結(jié)合，至今仍是多體動(dòng)力學(xué)研究的重要方法和柔性多體算法研究的熱點(diǎn)之一。最近十多年中基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法提出的新型非線性單元更是方興未艾，特別是柔性梁單元。

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