眾所周知?? 三角形的

面積

有好多種

算法???????

做題的時(shí)候突發(fā)奇想

怎么去證明園

內(nèi)接

三角形的面積

最大值

呢??？ 這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)

很艱難??

如果轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)

就很簡(jiǎn)單了

如圖 如果有一個(gè)圓內(nèi)接三角形ABC 根據(jù)

正弦定理

可得：

AC

/

sinB

=

AB

/

sinC

=

BC

/

sinA

=

2r

S△ABC

=

1/2

x

AB

x

AC

x

sinA

帶入得 ：

S△ABC

=

1/2

x

2r

x

sinB

x

2r

x

sinC

x

sinA

=

sinA

x

sinB

x

sinC

x

2r**2

（

**2 代表二次方

）

因?yàn)閞是個(gè)

變量

可以設(shè)為

任意數(shù)

所以實(shí)際上我們只要求

sinA

x

sinB

x

sinC

的

最大值

我們學(xué)過(guò)

基本不等式

：

（

a

+

b

）>=

2

（

a

x

b

）

**1/2

（

**1/2 代表1/2次方也就是開更

）

（

>= 代表大于等于

）

這其實(shí)是基本不等式的

二維

形式 基本不等式的

三維

形式為： （

a

+

b

+

c

）>=

3

（

a

x

b

x

c

）

**1/3

（

**1/3 代表三分之一次方

）

取等條件與二維的基本不等式

一樣

：

當(dāng)且僅當(dāng)

a

=

b

=

c

時(shí)取等

所以當(dāng)

a

=

sinA

，

b

=

sinB

，

c

=

sinC

時(shí)

（

sinA

+

sinB

+

sinC

）>=

3

（

sinA

x

sinB

x

sinC

）

**1/3

（

sinA

x

sinB

x

sinC

）<=（

sinA

/

3

+

sinB

/

3

+

sinC

/

3

）

**3

（

**3 代表三次方

）

當(dāng)且僅當(dāng)

sinA

=

sinB

=

sinC

時(shí)取等

若

sinA

=

sinB

=

sinC

根據(jù)

正弦定理

此時(shí)：

a

=

b

=

c

這個(gè)三角形為

等邊三角形

所以圓內(nèi)接三角形面積最大時(shí)為

等邊三角形

且

最大面積

為：

（

sinA

/

3

+

sinB

/

3

+

sinC

/

3

）

**3

x

2r**2

感謝觀看??