題目:如圖1,△ABC內(nèi)接于圓O,P為弧BC上一點(diǎn),點(diǎn)K在線段AP上,BK平分∠BAC,過(guò)K,P,C三點(diǎn)的圓Ω交BC于點(diǎn)D,連接BD交圓Ω于點(diǎn)E,連接PE并延長(zhǎng),與AB邊交于F

求證:∠ABC=2∠FCB?

思考過(guò)程:題目給的核心條件是角平分線和共圓 顯然,倒角是更好做的解題路徑 因此,連接BP,CP?

如圖2

觀察猜想,B,K,L三點(diǎn)共線 如果這三點(diǎn)共線的話,那么∠FLB=∠APC=∠ABC

結(jié)合BK角平分線可知∠ABC=2∠FCB

那么,只要證明B,K,L三點(diǎn)共線即可

可以考慮證明∠KLF=∠BLF ∠KLF可以與K,L,C,P四點(diǎn)共圓建立聯(lián)系

(∠FLK=∠APC=∠ABC)

∠FLB則可以考慮利用相似三角形來(lái)轉(zhuǎn)移角,證明△FLB與△FBC相似

要證明它,只需要證明FB^2=FL*FC 而FL*FC=FE*FP

可知FB^2=FE*FP 即△FBE相似于△FPB?

那么,只需要找到兩組三角形中的一對(duì)等角即可

顯然,∠FBP=180°-∠DCP=∠DEP=∠FEP

至此,一個(gè)回路接通了

下面,給出證明過(guò)程

證明:

設(shè)FC∩圓Ω=L,聯(lián)結(jié)KL,BL

∵K,L,C,P四點(diǎn)共圓,A,B,C,P四點(diǎn)共圓

∴∠FLK=∠APC=∠ABC,∠FBP=180°-∠DCP=∠DEP=∠FEP

又∵∠BFP=∠BFP

∴△FEB∽△FBP

∴BF^2=FL*FC=FE*FP

又∵∠BFL=∠BFL

∴△FBL∽△FCB

∴∠FLB=∠FBC=∠FLK

∴B,K,L三點(diǎn)共線

∵BK是角平分線

∴∠FCB=∠FLB-∠LBC=∠FBC-∠LBC=∠LBC=1/2∠ABC

即∠ABC=2∠FCB

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