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1.第二積分中值定理Ⅰ。

證明核心思路同第一積分中值定理，構(gòu)造連續(xù)函數(shù)φ(x)=g(a)∫??,??f(t)dt，則根據(jù)介值定理，必存在ξ，使得φ(ξ)取到minφ(x)和maxφ(x)之間的任一值。

因此只需證明minφ(x)≤∫??,??f(x)g(x)dx≤maxφ(x)

為此先作[a,b]的分割，把∫??,??f(x)g(x)dx寫成級數(shù)形式，然后分成兩部分I?和I?。（找到合適的分法是本證明中最難的部分）

∫??,??f(x)g(x)dx=lim∫??,??f(x)g(x)dx=limI?+limI?（這里lim不是真正的極限）

I?正好湊成K∑ωi(xi–xi–1)（ωi為g在分割小區(qū)間的振幅）

g可積，故‖π‖→0時，I?→0

I?中把g(xi–1)視作bi，∫(xi,xi–1)f(x)dx視作ai

Sk=∑ai有最大、最小值

用Abel分部求和公式知I?的表達式

根據(jù)Sk的取值范圍得知I?的取值范圍

于是可得結(jié)論

2.第二積分中值定理Ⅱ

令G(x)=g(x)–g(b)

把G(x)代替第二積分中值定理Ⅰ中的g(x)則得到第二積分中值定理Ⅱ。

從幾何意義看，是曲邊梯形面積用兩個矩形的面積表示。

3.命題1.35

拓寬到A≥g(a+)的情況，定義g(x)彎即可證明