在本科的高數(shù)學(xué)習(xí)中，我們對(duì)伽馬函數(shù)有過(guò)一些了解，但是多數(shù)高數(shù)教材中對(duì)伽馬函數(shù)的講解還是比較淺的，在這里我對(duì)伽馬函數(shù)的一些性質(zhì)進(jìn)行補(bǔ)充（本人能力有限只能介紹一些基本性質(zhì)，歡迎補(bǔ)充），本篇文章多用于自用，如有錯(cuò)誤也請(qǐng)大家指出。

一. gamma函數(shù)的介紹

? 伽馬函數(shù)（gamma函數(shù)）是階乘函數(shù)在實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)上擴(kuò)展的一類函數(shù)，作為階乘函數(shù)的延拓，是定義在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的亞純函數(shù)，通常寫作Γ（x）。伽馬函數(shù)在分析學(xué)，概率論，離散數(shù)學(xué)，偏微分方程中有重要的作用，屬于應(yīng)用最廣泛的函數(shù)之一。伽馬函數(shù)于1729年由著名數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler)在解決哥德巴赫（C. Goldbach）提出的數(shù)列插值問(wèn)題中誕生。

二.gamma函數(shù)的推導(dǎo)

三. gamma函數(shù)的定義

1.實(shí)數(shù)域上gamma函數(shù)定義：

2.復(fù)數(shù)域上gamma函數(shù)定義:

3.Euler無(wú)窮乘積定義：

4. Weierstrass無(wú)窮乘積定義：

當(dāng)z等于1/2時(shí)，代入得到Wallis公式（點(diǎn)火公式）

四. gamma函數(shù)的性質(zhì)

1.遞推性質(zhì)：

該性質(zhì)可以通過(guò)分部積分法證明比較簡(jiǎn)單（讀者可自行完成），從中還可以得出

2.余元公式：

當(dāng)z=1/2時(shí)，可以得到重要的概率公式

余元公式的推導(dǎo)：

關(guān)于余元函數(shù)的證明，可以采用級(jí)數(shù)或復(fù)變函數(shù)進(jìn)行證明，篇幅原因，這里暫不給出。

3.凹凸性質(zhì)：對(duì)于x>0，gamma函數(shù)是嚴(yán)格的凸函數(shù)

4.極限性質(zhì)：

5.Legendre倍元公式：

倍元公式的證明

關(guān)于證明過(guò)程中的Beta函數(shù)，可以參考下面給出的gamma函數(shù)與Beta函數(shù)的關(guān)系

6.概率論中的gamma分布：

7.與Beta函數(shù)的關(guān)系：

8.與Digamma函數(shù)的關(guān)系:

至此，本篇文章講解了gamma函數(shù)的一些基本屬性，并得到了余元公式倍元公式等重用結(jié)論。水平有限，文章有誤還望指正。