在開始簡介拉東變換之前, 先來看一條視頻? (宣傳自己)

然后我們來說一下CT的工作原理

CT? ?(Computed Tomography, 計算機斷層成像)

CT就是把一個人送進洞里, 然后獲得這個人的全部斷層圖像, 那么它是怎么工作的呢

大家可能大概應該都有拍過x光片吧?? x光的成像原理不難, 就是x光穿過身體, 越厚實的地方阻隔x光越多, 成像后越厚實的地方就越白, 非常簡單對不對.? ?那么CT其實就是在x光的基礎上加了很多數(shù)學魔法而已

在某一個瞬間, 人體的某個部位進入了CT的掃描范圍, x光的發(fā)射和探測裝置就會在洞里旋轉了半圈 (補充: 拍x光片的探測器是平面的, 而ct是一條線狀的)

而在某一個瞬間的某一個角度, x光和探測器如下圖所示

黑色方塊是人體內(nèi)部組織, 藍色的圓圈是ct機的那個洞, 綠色的是x光的路徑, 紅色的是探測器, 紫色的是探測器收到的x光強度(藍色的那條線是x光正常強度)

如果把這半圈得到的信息整理成一張圖片? (假設x光強度越強, 得到的顏色越黑,? ?不過現(xiàn)實的x光片也確實是這樣的),? 如下圖

這張正弦圖里記錄了在這個瞬間人體截面的所有信息(有損失), 那么就可以通過某種方法得到人體的截面了

在開始說這種方法時, 先來介紹一下本篇的主角: 拉東變換

拉東變換 (Radon Transform, 有時還叫R變換)

其實CT這種, 由一個物體得到這個物體相對應的正弦圖的方法就叫做拉東變換

我們假設平面xOy中存在一個密度函數(shù) ρ(x, y)?, 也就是說在任意一點(x,y)存在一個密度數(shù)值

我們再假設光線與x軸的夾角為?θ?, 屏幕為無限長, 且屏幕上的任意一點可以用?r?表示, 那么屏幕上任意一點在任意角度得到光線被削弱的強度可以用一個函數(shù)表示: R(r, θ), 且這個R函數(shù)與ρ密度函數(shù)相關

那么我們來求這個R函數(shù)的表達式

假設在某一角度 θ_0, 屏幕上的一點 r_0, 光線路徑為 L, 那么屏幕上得到的強度 R_0 就等于路徑L上對ρ函數(shù)的積分了, 如下圖所示

用數(shù)學表達就是下面的東西

使用簡單的數(shù)學知識可以知道: 這個路徑L的表達式為??r - x cos θ - y sin θ? =? 0

那么我們需要想辦法把路徑L和ρ函數(shù)扯上關系

在這里我們需要科普一個 "沖激函數(shù) δ(x)"?, 這個函數(shù)不是數(shù)學上嚴格存在的函數(shù), 但是也不影響人們?nèi)ナ褂盟?/p>

δ(x)只有在x=0時它才會等于1, 而其他時候則等于0, 圖像如下圖所示

這個函數(shù)有一個數(shù)學上不允許存在的定義:

這里來說一下為什么不允許存在 (學歷不深的請盡快逃離): 是數(shù)學上規(guī)定, 測度為0的區(qū)間積分也為0, 但是這個函數(shù)在區(qū)間 (0-, 0+)中, 明明測度為0, 但是積分后卻等于1.? ?這不是什么bug, 而是人為規(guī)定的, 所以才說這個函數(shù)嚴格來說不存在

有了這個函數(shù)之后, 我們可以用這個函數(shù)把ρ函數(shù)多余的部分壓平(便乘0): ρ(x, y) * δ(r-xcosθ-ysinθ), 然后在平面xOy中積分, 就可以得到了ρ函數(shù)在路徑L上的積分了, 于是拉東變換就是下面的表達式:

上面的積分式是拉東變換的標準寫法, 不過我發(fā)現(xiàn)在計算機里基本上用不了, 而且平面積分也不好計算, 于是我發(fā)現(xiàn)用參數(shù)方程代替ρ的xy就可以得到傳統(tǒng)意義上的線積分:

突然被家里人趕出家門, 剩下的拉東逆變換下次新開一篇吧