作者：何許? 來源：知乎

在新導(dǎo)數(shù)定義下看明代王文素率先發(fā)現(xiàn)微積分導(dǎo)數(shù)（乙方）及其運(yùn)用于高次方程的問題

------------------兼論微積分導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用發(fā)明權(quán)的歸屬

沈衛(wèi)國

內(nèi)容提要：在筆者提出的“新導(dǎo)數(shù) 定義”的基礎(chǔ)上，對(duì)500年前明代偉大數(shù)學(xué)家王文素巨著?算學(xué)寶鑒?中得到的導(dǎo)數(shù)（他成為是“乙方”）進(jìn)行了全新的認(rèn)識(shí)，證明其完全與筆者“新導(dǎo)數(shù)定義”一致。進(jìn)而可以確定，王文素在500年前就提出了絕對(duì)不依賴于無窮小和非平凡極限的導(dǎo)數(shù)概念。并實(shí)際很自然地得到了各次冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值。而這正是正確的、無矛盾（不存在所謂的“貝克萊悖論”問題的困擾）的微積分的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。因此，王文素不僅僅是早牛頓、萊布尼茲140年提出了微積分導(dǎo)數(shù)（乙方）的問題，而是早牛頓、萊布尼茲不完善的、有瑕疵的、存在矛盾（貝克萊悖論）微積分早140年提出了完全正確的、無瑕疵的、不存在任何矛盾的微積分導(dǎo)數(shù)（乙方）的問題。他根本無需“撥亂反正”，因?yàn)槲⒎e分導(dǎo)數(shù)之“亂源”，發(fā)生在其之后140年。在筆者費(fèi)了很大的勁，才從非平凡極限法微積分的泥淖中掙脫出來的眼光看，才更覺王文素提出并使用其于計(jì)算的導(dǎo)數(shù)（乙方）的正確性及其偉大意義。一些人貶低他的理由，也就是他沒有提到所謂的傳統(tǒng)或“現(xiàn)代”微積分習(xí)以為常的無窮小和其實(shí)是非平凡的極限概念，卻恰恰是其偉大之處、明智之處。換言之，比西方所有那些人都高明之處。其微積分創(chuàng)始人的地位，終究必須也必然會(huì)被承認(rèn)。特別提下，如果他的著作不過是前人導(dǎo)數(shù)方法的匯總、記錄（待考），那么，實(shí)際中國發(fā)現(xiàn)微積分方法的時(shí)間還要提前。這是有待進(jìn)一步考證的。即使如此，王文素作為微積分導(dǎo)數(shù)（乙方）及其應(yīng)用方法的記錄人，無疑也是功不可沒的。至于王文素實(shí)際使用的、和筆者在其500年后單獨(dú)明確提出的微積分所謂“新導(dǎo)數(shù)”思路為什么正確，非平凡極限法微積分導(dǎo)數(shù)定義為什么不行，這個(gè)工作，是筆者獨(dú)立完成的。筆者的工作，不經(jīng)意間實(shí)際是明確地、更清晰地返回了500年前的王文素的正確的做法。見此文及筆者前期系列文章。

關(guān)鍵詞：王文素；明代；500年前；算學(xué)寶鑒；貝克萊悖論；乙方；導(dǎo)數(shù)；冪函數(shù)；各次冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；微積分；非平凡極限；分母上的自變量；比式；非平凡比式；自變量的微分；微積分創(chuàng)始人；新導(dǎo)數(shù)定義；增量分析

一、王文素作為導(dǎo)數(shù)第一人或傳承人辨析

本來已經(jīng)申明在相關(guān)學(xué)術(shù)問題上就此封筆的?？蛇€不到兩天，就無意中在網(wǎng)上得知北師大已故趙擎寰教授評(píng)論明代晉籍?dāng)?shù)學(xué)家王文素巨著?算學(xué)寶鑒?中對(duì)微積分導(dǎo)數(shù)的得出早牛頓等140年的掌故。這當(dāng)然引起了我極大的興趣。因?yàn)槲乙恢闭J(rèn)為，長于計(jì)算的中國古代，似乎應(yīng)該有對(duì)本質(zhì)上是用于計(jì)算的微積分求導(dǎo)問題的貢獻(xiàn)。因?yàn)閷?duì)應(yīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算而言，微積分求導(dǎo)、運(yùn)算，其實(shí)并不是特別難的。吳文俊先生也早就說過：“.........（微積分）發(fā)明過程中中國古代數(shù)學(xué)的作用遠(yuǎn)優(yōu)于希臘式的數(shù)學(xué)，我們甚至不無理由可以這么說，微積分的發(fā)明乃是中國式數(shù)學(xué)戰(zhàn)勝希臘式數(shù)學(xué)的產(chǎn)物【6】”。但過去筆者在網(wǎng)上沒有搜到有關(guān)信息，一直引為憾事。這回好了，無心之得還真就來了。但趙擎寰先生的有關(guān)文章?明王文素珠算巨著?算學(xué)寶鑒?天元術(shù)高次多項(xiàng)方程與導(dǎo)數(shù)?一文遍搜不到，估計(jì)不是正式期刊發(fā)表的，而是會(huì)議交流的論文集中的文章（有網(wǎng)友上傳有關(guān)章節(jié)的照片，但看不清楚，只能作為證明有此一文而已）。所幸在網(wǎng)上搜到網(wǎng)名scarse的一網(wǎng)友的介紹文章，才使得我輩得以略窺其豹，大略了解一二。拜讀之后，實(shí)話說筆者大為震驚與激動(dòng)！真想不到500年前，作為晉商的王文素先生（明代“民科”乎？），就實(shí)打?qū)嵉氐玫搅烁鞔蝺绾瘮?shù)的微積分導(dǎo)數(shù)，并且運(yùn)用于數(shù)學(xué)計(jì)算（這是當(dāng)然的，導(dǎo)數(shù)發(fā)明的目的，就是計(jì)算，否則毫無意義。中西皆然。特別是高次方程也就是非線性方程、曲線方程的求解問題）。但是，很多國人（包括該文作者scarse本人）卻都語出不屑，更傾向于貶低王文素，似乎王文素僅僅是“瞎貓碰到了死耗子”，偶然撞到了或?qū)懗隽藢?dǎo)數(shù)式子而已，似乎他并沒有意識(shí)到他求出的是什么似的。不能不說，這一方面是國內(nèi)上上下下盲目崇洋迷外的結(jié)果，另一方面，也是有關(guān)的人沒有達(dá)到筆者“新導(dǎo)數(shù)定義”下的微積分詮釋的結(jié)果。因此，他們這些人對(duì)王文素給出的導(dǎo)數(shù)不甚了然，某種意義上也不奇怪。以下針對(duì)該文，做一些具體分析。事實(shí)上，王文素不但是得到了導(dǎo)數(shù)（他稱之為“乙方”），而且是完全正確的導(dǎo)數(shù)，也可以說是與非平凡極限、無窮小等概念完全無關(guān)的導(dǎo)數(shù)。它根本就不涉及“分母為自變量”的這類比式（可以稱之為“非平凡比式”，以區(qū)別于一般意義的比式）的趨0極限值（可以稱之為“非平凡極限”，以區(qū)別于一般意義的極限。在與人的討論中筆者發(fā)現(xiàn)，很多人分不清二者的區(qū)別）或函數(shù)值的問題（即是不是0/0的貝克萊悖論問題）。因此筆者費(fèi)了很大的勁兒，才從西方人（包括牛頓、萊布尼茲，柯西，外爾斯特拉斯等等）在這個(gè)基于分母為自變量的“非平凡比式”的導(dǎo)數(shù)觀念（趨0非平凡極限）的誤導(dǎo)下掙脫出來得到的結(jié)論，人家王文素順理成章地輕而易舉就得到了。原因當(dāng)然是他根本就沒有受到西方那些人的觀念“污染”，沒有先入為主的一套臼窠需要爬出來。這使得筆者不禁想到，已故數(shù)學(xué)大家吳文俊先生大加贊賞的中國古代?九章算術(shù)?中對(duì)無理數(shù)的干凈利落的定義簡直異曲同工：根本就不是從無窮小數(shù)的角度來定義，而是單刀直入實(shí)數(shù)本質(zhì)地從“形”的“維”的擴(kuò)展上來考慮問題，因此無比自然而明確，且根本就不再有西方無理數(shù)定義法所導(dǎo)致的后世無休止的理論困擾。筆者的思路歷程，是先想到代數(shù)法下直線與曲線的重根即切線與曲線的交點(diǎn)，進(jìn)而明白了導(dǎo)數(shù)的新定義，但當(dāng)時(shí)還是認(rèn)為分母為自變量的所謂非平凡比式的趨0非平凡極限還是有的，只不過不應(yīng)該以此極限來代替原先的那個(gè)無意義的函數(shù)值0/0。然后又突然意識(shí)到，這個(gè)類型的趨0非平凡極限（分母有自變量的非平凡比式的），不過是一個(gè)“非正常趨0極限”（仿一句搞數(shù)學(xué)的經(jīng)?！八普?guī)”說法，就是“非平凡極限”）。而正規(guī)的“不可達(dá)意義”的極限，都有一個(gè)用不可達(dá)極限來代替無定義的函數(shù)值是否合適的問題，更不用說這個(gè)實(shí)際的“非正常極限”了（說白了，就是“錯(cuò)誤的極限”）。而在其后，才醒悟到既然有了新導(dǎo)數(shù)定義，那么，在這個(gè)定義下，我們完全可以不用拘泥于傳統(tǒng)微積分的做法（他們是在他們的定義下不得已的），即在增量比值函數(shù)△y/△x下求導(dǎo)，而就在增量函數(shù)△y（具體說是割線、切線的增量函數(shù)，而不是曲線本身的增量函數(shù)）下求導(dǎo)即可，也就是說，根本就沒有什么分母為不為0的問題，因?yàn)榍髮?dǎo)時(shí)在新定義下根本就可以沒有作為自變量△x的分母了。無分母△x了，還有分母△x為0不為0的問題嗎？而王文素的得出導(dǎo)數(shù)（他謂之“乙方”）的做法，正是如此（見附錄公式3）。因此在這個(gè)意義上，王文素?zé)o可爭議地就是微積分導(dǎo)數(shù)發(fā)現(xiàn)的第一人！而且是完全正確的導(dǎo)數(shù)的發(fā)現(xiàn)第一人！！理由很簡單，那些人們津津樂道的所謂的正規(guī)的、成套的、成系統(tǒng)的、無論牛頓法（先是無窮小，后是“最終比”）、萊布尼茲法（無窮小的微分之比）還是柯西的極限法，都是有問題的，沒有解釋清楚的，或曰解釋錯(cuò)的（詳見筆者前期文章分析）。唯有王文素沒有跟著他們?nèi)ヌ@個(gè)火坑，理由很簡單：王文素的?算學(xué)寶鑒?比他們的有瑕疵的文章早起碼140年（比柯西的極限法大概早200多年了）。我可以毫不猶豫地、也毫不夸張地宣告于國人：微積分求導(dǎo)的發(fā)明權(quán)，而且是完全正確的發(fā)明權(quán)，屬于中國人，屬于山西人，屬于汾陽人，屬于王文素！口說無憑，下面具體分析（結(jié)合scarse的文章，見附錄照片）。

該文中的公式（3）中的k，就是我們習(xí)慣上用的自變量的增量△x，公式（3）括號(hào)部分，就是一階導(dǎo)數(shù)（王文素稱之為“乙方”。有意思的是，張景中院士在其關(guān)于微積分改進(jìn)的文章中，將其得到的導(dǎo)數(shù)稱為“乙函數(shù)”，豈非天作之合哈？）。這是王文素明確得到的。其中注意，2a2h（此處h為自變量，相當(dāng)于我們通常表示的x），就是我們經(jīng)常作為例子引用的“二次曲線”的導(dǎo)數(shù)。值得讀者特別注意的是，這個(gè)“乙方”（導(dǎo)數(shù)）的得到，根本就沒有用什么增量比值函數(shù)（分母為自變量的非平凡的比式），用的就是并無分母的增量函數(shù)。把公式（3）“翻譯”成現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言，就是g?△x，其中g(shù)為導(dǎo)數(shù)（乙方），或這個(gè)直線增量方程的系數(shù)（這里用g而不用通常表達(dá)系數(shù)或斜率的k，是避免與該文中表示自變量增量的k相混淆）。而△x就是自變量的增量（對(duì)應(yīng)于該文中的k）。顯然，王文素在給出導(dǎo)數(shù)（即“乙方”）的過程中，并未出現(xiàn)k/k也就是我們通常的△x/△x，它沒有分母，更談不上分母上的自變量△x（或k）。因此根本就不會(huì)有隨著自變量等于或趨于0分母為不為0的貝克萊悖論問題。

為簡化討論起見，我們僅以（3）式中的二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2a2h這一項(xiàng)來分析。無關(guān)緊要地，我們把常數(shù)項(xiàng)a2去掉。剩下的h，就是我們通常用習(xí)慣了的自變量x，而k，就是自變量的增量△x。文中說的“解”h+k，就是我們通常的x + △x。如此可見，（3）式中的二次方程那一項(xiàng)，連同括號(hào)內(nèi)外，實(shí)際就是我們通常的2x?△x。其中2x是括號(hào)內(nèi)的，△x是括號(hào)外的（就是式中的k）。當(dāng)然，（3）式是舍棄了△x（即k）的高次項(xiàng)得到到，也就是在（2x + △x）?△x = 2x?△x + △x2中，舍棄了自變量△x的高次項(xiàng)△x2或單單“提出”2x?△x 而得到的。而2x當(dāng)然就是現(xiàn)在稱作“導(dǎo)數(shù)”的“乙方”。這在數(shù)值上與令2x + △x中的△x = 0或△x → 0而得到2x是一個(gè)意思。于是顯然，2x + △x就是割線斜率，2x就是切線斜率， 2x?△x 就是函數(shù)增量的“線性主部”，即通常的“微分”，而△x2即函數(shù)增量的“非線性部分”。而（2x + △x）?△x即函數(shù)y（或其割線）的增量△y?？梢?，（3）式反倒不必要求k（即△x）為0（或趨于0與否），而是導(dǎo)數(shù)（乙方）直接與現(xiàn)在的微分概念融合，或直接由其得到，自然而無矛盾。其沒有分母，沒有分母上的自變量，也就沒有什么0/0的問題，貝克萊悖論根本不存在。這是一種遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓、萊布尼茲、柯西其實(shí)是有問題、有矛盾的做法的做法，是直至微積分導(dǎo)數(shù)本原（在500年前）或回歸微積分本原（以現(xiàn)在走了幾百年的彎路的眼光看來）的做法。它與筆者在西方微積分理論的誤導(dǎo)下經(jīng)過大量思考才好不容易艱難“爬”出其窠臼而有所悟方法異曲同工、如出一轍。盡管王文素沒有提到什么切線、斜率、瞬時(shí)速度等等概念，但這類幾何、物理概念并不是代數(shù)類數(shù)學(xué)理論所必須，而微積分的本質(zhì)，當(dāng)然與代數(shù)求解直接有關(guān)。

宿遷學(xué)院李紅玲教授在其文章中提到美國紐約州立大學(xué)的Range教授給出的導(dǎo)數(shù)定義及求導(dǎo)方法【1】，實(shí)際與筆者和500年前的王文素是基本一致的。而王文素早500年。筆者對(duì)導(dǎo)數(shù)的新定義是很明確的，但Range教授對(duì)傳統(tǒng)微積分導(dǎo)數(shù)的看法究竟為何，所得資料太少，還不好確定。只是從李教授的介紹中的寥寥數(shù)語看，其表述與筆者給出的導(dǎo)數(shù)新定義是一致的（就是實(shí)實(shí)在在的切線斜率或切線方程的系數(shù)）。但Range在求導(dǎo)中要得到0 = g（0）?0,其中g(shù)（0）為導(dǎo)數(shù)。但此時(shí)△x和△y此都是0，這在筆者的詮釋下當(dāng)然沒有問題，但Range究竟如何解釋這一點(diǎn)并不十分清楚。而筆者與王文素并無此要求。見附錄文中的公式3中的“k” ，它不為0。而k的高次項(xiàng)都被“舍棄”了，因此本質(zhì)上，這實(shí)際上就等于承認(rèn)了k的高次項(xiàng)與這個(gè)k的一次項(xiàng)實(shí)際不是同一個(gè)變量（一個(gè)“舍棄”了，也就是為0了，而另一個(gè)不為0，它們能說是同一個(gè)變量嗎？），而一次變量方程，不就是線性方程而不是曲線方程嗎？從另一個(gè)角度看，就算我們不把高次項(xiàng)看成“0”，只是“不考慮它們”或“舍棄”它們，那也等于舍棄了高次的非線性的與彎曲有關(guān)的項(xiàng)，而“剩下的”自然就是一次的只與直線有關(guān)的線性項(xiàng)。同時(shí)如果系數(shù)（斜率，導(dǎo)數(shù)）唯一地與線性方程“綁定”，那么它對(duì)高次的曲線非線性方程而言，當(dāng)然就不是“實(shí)在”的，而是“虛擬”的（這就與理論力學(xué)中的“虛位移”、“虛功”等概念是想通的。原先這些概念是沒有怎么說清楚的）。即：非線性的曲線就是曲線，就不是線性的直線，這是本質(zhì)的，不要再想著在無窮小段曲線與直線可以重合或忽略誤差。或者曲線增量的趨0極限就是直線或與直線重合等等。實(shí)際上，線性的直線只是非線性的曲線的各次方疊加態(tài)中的一個(gè)態(tài)而已（盡管是似乎可以看成是最基礎(chǔ)的也罷），各次態(tài)的所有項(xiàng)的疊加，如何可以在任何情況下與這些項(xiàng)中的一個(gè)態(tài)（哪怕是線性態(tài)）相等？直觀地，如果有a = 1+2+3+4+5+........，那么還有a = 1嗎？除非它們都是0。但如此一來，還有意義嗎？于是，斜率（導(dǎo)數(shù)）只能屬于線性的直線（切線的斜率就是導(dǎo)數(shù)），不可能斜率屬于任何曲線。而這恰恰就是傳統(tǒng)微積分之誤，總想把斜率直接與曲線掛鉤，因此非出矛盾不可。在此角度下，王文素的具體處理辦法與筆者對(duì)微積分導(dǎo)數(shù)的詮釋是暗合的。雖然王文素在這里沒有多說什么，但他是實(shí)際地做出來了。此外，王文素的書很多內(nèi)容是對(duì)數(shù)學(xué)歷史文獻(xiàn)中的數(shù)學(xué)方法的介紹或改進(jìn)，因此真正最早的導(dǎo)數(shù)（乙方）的得到是不是比他還要早，還有考證的余地。如果真的如此，導(dǎo)數(shù)的得到在我國可能更早。這些，都是值得期待的（在此之前，暫時(shí)先以王文素為最早）。

總之，有人以王文素沒有提到無窮小或極限為由否定或無視他的成就，認(rèn)為他不過是“瞎貓碰到死耗子”，得到導(dǎo)數(shù)的數(shù)值而未解其意，因此不能算微積分的創(chuàng)始人、導(dǎo)數(shù)的發(fā)明人。比如引文的作者scarse，說“可以在王文素的做法中找到導(dǎo)數(shù)的影子”（實(shí)際上，根本就不是什么“影子”。白紙黑字，就是實(shí)實(shí)在在的導(dǎo)數(shù)（乙方）。僅就二次函數(shù)而言，難道牛頓得到了2x就算數(shù)，就不是“影子”，王文素同樣得到了2x，就成了一個(gè)“影子”了？）。根據(jù)前文可知，這種看法是完全錯(cuò)誤的！實(shí)際上，無論無窮小還是極限，都可以視為微積分歷史上的彎路、誤解，它們都避免不了貝克萊悖論。這在筆者前期文章中早有透徹的分析與論證。此不贅述。因此沒有提到什么無窮小、極限，不但不是王文素得到導(dǎo)數(shù)過程中的缺點(diǎn)，反而是其優(yōu)點(diǎn)，說明在起碼500年前，作為中國明朝山西汾陽人的他，就實(shí)際上得到了完全正確的、無瑕疵的、無矛盾（無貝克萊悖論）的導(dǎo)數(shù)定義（乙方）及求導(dǎo)方法，并運(yùn)用于解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)實(shí)踐中（這是當(dāng)然的，微積分的創(chuàng)建目的無論中西，都是為了求解數(shù)學(xué)問題無疑）。因此，從這個(gè)角度說，不但王文素當(dāng)之無愧地就是微積分的發(fā)明人，而且是完全正確的微積分的發(fā)明人。他比其后140年的牛頓、萊布尼茲，更比其后200多年的柯西要高明的多。

牛頓一開始是認(rèn)可無窮小的，但后來提出“最終比”解釋，其實(shí)就是極限觀點(diǎn)。而萊布尼茲正好相反，一開始是極限，但后期廣泛使用無窮小（見?微積分概念發(fā)展史?）。而柯西的極限法更是明確否定了無窮小概念。試圖用極限法（本質(zhì)是“非平凡極限”）一統(tǒng)微積分的天下?？挛骱屯鉅査固乩沟仍噲D“曲線救“導(dǎo)””，他們的基本思路為：不是在0點(diǎn)的增量比值函數(shù)的非平凡比式的“函數(shù)值”為無意義的0/0嗎（這是公認(rèn)的）？好，我們就不考慮該點(diǎn)了，也就是干脆把該點(diǎn)“革出”定義域，自然也就是沒有函數(shù)值“0/0”了。于是，就可以通過約分消去分母上的那個(gè)自變量△x，然后再讓剩下的原先處于這個(gè)非平凡比式分子上的自變量△x趨于0（實(shí)際此時(shí)等于0也無妨了），如此這般地就算是求出了原先那個(gè)非平凡比式的趨0極限值了。即，以一個(gè)沒有分母上的自變量△x的非比式的“可達(dá)趨0極限”，去等價(jià)于（實(shí)際做法是赤裸裸的“代替”、“取代”）一個(gè)分母為自變量△x的非平凡的比式的“不可達(dá)趨0極限”，居然還認(rèn)為一點(diǎn)邏輯問題也沒有。是這樣嗎？數(shù)學(xué)行當(dāng)不是號(hào)稱“最講邏輯”的嗎？我們不是經(jīng)?？吹胶芏嗍置黠@的東西，我們認(rèn)為幾乎是自明的、無需證明的東西，數(shù)學(xué)教科書中也要煞有介事、一本正經(jīng)地給出“證明”的嗎？我們不是如此這般地被教導(dǎo)的嗎？怎么這里卻沒有一個(gè)證明？究竟為什么一個(gè)無論消不消分母上的自變量△x，求出的趨0極限都是原先那個(gè)非平凡比式（分母上有自變量△x的）的趨0非平凡的、不可達(dá)的極限值？好，如果真的要給出一個(gè)證明，還是只能是先通過約分消去分母上的自變量△x來完成這個(gè)證明（誰要是不信就請親自試試）。這不是典型的邏輯上的“循環(huán)論證”錯(cuò)誤？反之，我們還以最簡單的二次函數(shù)為例：假設(shè)有一個(gè)在△x = 0點(diǎn)無定義的、也就是其定義域人為地不包括該點(diǎn)的非比式的“平凡的”、也就是沒有分母（自然也沒有分母上的自變量△x了）的函數(shù)“2x + △x”在△x → 0時(shí)（即其極限值）當(dāng)然為2x，也就是其極限、嚴(yán)格說是可達(dá)極限為2x。如通過對(duì)2x + △x乘以一個(gè)△x/△x后得到的（2x + △x）?△x/△x來直接求得這個(gè)“非平凡比式（分母上此時(shí)有自變量△x了）”的趨0的、有意義的、非0/0型的不可達(dá)極限是辦不到的。如果直接求，這個(gè)非平凡比式的趨0極限就是無意義的0/0，與其公認(rèn)的在該點(diǎn)的無意義的函數(shù)值0/0完全一致。換言之，我們想通過反向操作對(duì)一個(gè)強(qiáng)令其在△x = 0點(diǎn)無定義的、但非比式的、趨0不可達(dá)極限值就是2x的“2x + △x”乘以一個(gè)△x/△x來求其極限值2x是不可能的、辦不到的，因?yàn)榇藭r(shí)的極限值就是無意義的0/0，而非有意義的2x。這里我們可以運(yùn)用“反證法”了：如果未證明趨0極限值為無意義的0/0，則必為有意義的2x。但前面已經(jīng)證明了如果不通過約分先消去分母上的自變量△x這一步，是怎么也得不到“這個(gè)趨0極限是有意義的2x”這個(gè)結(jié)論的，因此不通過約分先消去分母上的自變量△x，只能得到極限值也為與其函數(shù)值一樣的無意義的0/0。得證。

更何況筆者早就論證了，所謂“約分消分母”，就是也只能是令分母為“1”。為1，只能等于這個(gè)1或趨于1，而絕對(duì)不是原先認(rèn)為的“趨于0”（當(dāng)然更不是等于0了）。就算有人強(qiáng)辯，說什么“不一定是1”云云，但反正絕對(duì)不會(huì)是“0”。于是結(jié)論為：是0，不能約分。而約分，就不能再得到0。不能再得到0，就不會(huì)再趨于0。不可能有什么極限法說的：“為0不行，于是不考慮為0點(diǎn)。而不考慮為0點(diǎn)，就不會(huì)等于0了，于是就可以約分了，而約分了，沒有分母了，就可以趨于0了”這回事。事實(shí)是：公認(rèn)地，函數(shù)值在0點(diǎn)為0/0，不行。于是不考慮0點(diǎn)后，就可以約分了。但約分等價(jià)于分母為“1”，起碼不為0，于是要去“趨于”什么，也只能是趨于“1”或起碼也是任何非0數(shù)，而單單絕對(duì)不會(huì)再是“趨于0”了，非平凡極限法微積分賴以求導(dǎo)的那個(gè)著名的定義式，求導(dǎo)式，即對(duì)△y/△x這個(gè)非平凡比式求其在△x → 0時(shí)的非平凡極限值，還成立嗎？還有嗎？

總之，非平凡比式△y/△x的非平凡趨0極限，仍舊是無意義的0/0。如果不是，就不叫非平凡比的極限了。如果任何一個(gè)比式的極限最后成了一個(gè)非比式，它如果還是被視為一個(gè)比式，以與原非平凡比式△y/△x一致，其分母只能是“1”。既然是“1”了，當(dāng)然就不會(huì)有等于0或趨于0的事發(fā)生。

還有人說，分母△x → 0不是0。那么請問，不是0又是幾？是不是要給一個(gè)具體的數(shù)？如果給不出，就只能是0，這實(shí)際上可以看成就是一個(gè)反證法的證明：△x → 0 = 0的一個(gè)證明。

因此，非平凡極限法之不能成立的理由，是“雙重的”，這個(gè)結(jié)論是“雙保險(xiǎn)”的。邏輯上無任何瑕疵的。

還有一個(gè)不容忽視的問題：第一代微積分（牛頓、萊布尼茲）的導(dǎo)數(shù)dy/dx，是十分自然的一個(gè)比式，萊布尼茲稱之為“微商”，明確地是個(gè)“商”。它的分子dy和分母dx，是可以分拆的。是相互獨(dú)立存在的。但在所謂第二代微積分（極限法?？挛?、外爾斯特拉斯等）中，由于其導(dǎo)數(shù)定義的限制，細(xì)究起來，導(dǎo)數(shù)不可能是一個(gè)有分子分母的比式，因此“微商”這個(gè)名詞嚴(yán)格講不能成立。它（即dy/dx）不是個(gè)“商”，僅僅是一個(gè)“整體”，只能作為一個(gè)不可分拆的“數(shù)”看待（見所有比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕炭茣?。?yán)格而言，已經(jīng)不是什么“微商”的導(dǎo)數(shù)只能被寫成f’（x）的形式，盡管往往還是有意無意習(xí)慣地寫成比式形式dy/dx。因此所謂第二代微積分，在詮釋導(dǎo)數(shù)f’（x）的合理性時(shí)，是嚴(yán)格區(qū)分導(dǎo)數(shù)不是比式這點(diǎn)的。它就根本不應(yīng)該再被寫成dy/dx形式。但在實(shí)際導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中，卻有意無意還是回到牛頓、萊布尼茲第一代微積分的做法上來。也就是dy/dx仍舊充斥于教科書中。這是很讓一些真正動(dòng)腦子琢磨事的學(xué)者、學(xué)生十分困惑的。況且，第二代極限法微積分的做法，直接導(dǎo)致微積分整個(gè)理論的復(fù)雜化，一改牛頓、萊布尼茲第一代微積分的簡潔性。以至現(xiàn)在很多教材（特別是不甚嚴(yán)格的偏應(yīng)用的工科教材）說的實(shí)際還是本該拋棄的第一代牛頓、萊布尼茲微積分。比如，很多教材還在提按理早該淘汰的無窮小概念。這種教材中，往往把本來不相容的無窮小和極限相提并論或來回切換說法。這不僅僅是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}，嚴(yán)格說還是相互矛盾的。

而羅賓遜的非標(biāo)準(zhǔn)分析，眾所周知，等于又回歸了無窮小法（見柯朗的?數(shù)學(xué)是什么?）也就是牛頓、萊布尼茲法。可見，貫穿整個(gè)西方微積分歷史，無窮小與極限這一對(duì)矛盾，始終相互纏繞，“既愛又恨”，互斥又互相依賴。這已經(jīng)很說明問題了。實(shí)際上，二者都不行。屬于殊途同歸地錯(cuò)到一起了。而自王文素始以至筆者、Range（可能，待考）的不需要無窮小、極限的微積分，才是真正意義的無矛盾的、本原的微積分詮釋。

總之，王文素得到導(dǎo)數(shù)（乙方）的途徑中，既沒有無窮小，也沒有“非平凡極限”（非存在極限），也沒有使用分母為自變量的增量比值（筆者稱之為“非平凡比式”）的趨0極限，這不但不是一些人認(rèn)為的他得到導(dǎo)數(shù)過程的缺陷，反而是他的一大優(yōu)點(diǎn)。明確說，他的這個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是“完全正確”、“沒有瑕疵”、“沒有矛盾”（不可能產(chǎn)生矛盾，因?yàn)樗阉锌赡墚a(chǎn)生矛盾的途徑都堵死了）。因此，王文素與在其140年之后的微積分導(dǎo)數(shù)概念（定義）、求法之間，不是一個(gè)簡單的優(yōu)缺點(diǎn)的孰優(yōu)孰劣的問題，而是一個(gè)本質(zhì)上誰更正確、更無誤的問題。發(fā)明的時(shí)間提早了140年，還“預(yù)先”就等于“排除了”（實(shí)際上當(dāng)然指的是根本就“沒有出現(xiàn)”）140年之后的微積分求導(dǎo)理論的問題（貝克萊悖論的矛盾），請問，微積分的發(fā)明權(quán)不歸他歸誰？（除非他的結(jié)論是他從更古的“古代文獻(xiàn)”中淘來的。這當(dāng)然待考）。

有人可能還會(huì)以王文素沒有涉及“切線斜率”、“瞬時(shí)速度”等幾何、物理概念而認(rèn)為他沒有發(fā)現(xiàn)微積分導(dǎo)數(shù)。或雖然發(fā)現(xiàn)了、提到了，但沒有真正理解導(dǎo)數(shù)的真實(shí)含義。這個(gè)看法根本就不能成立。須知，就是牛頓，也主要是把注意力集中在解決“瞬時(shí)速度”這個(gè)物理范疇的問題，而對(duì)切線之類的幾何問題并不關(guān)注。而萊布尼茲，則主要是在幾何的切線上來理解導(dǎo)數(shù)的，而對(duì)“瞬時(shí)速度”之類的物理問題同樣并未特別關(guān)注，難道說，他們二人同樣地也是理解了導(dǎo)數(shù)的一個(gè)側(cè)面，就無資格當(dāng)西方世界的微積分的發(fā)明人了？王文素雖然關(guān)心的主要不是物理問題和幾何問題，但解方程同樣是微積分導(dǎo)數(shù)的任務(wù)，況且眾所周知，無論物理還是幾何，不都需要解代數(shù)方程的嗎？因此，王文素微積分導(dǎo)數(shù)發(fā)明人的地位，是無可撼動(dòng)的。

同樣地，王文素的插值法，比之牛頓也早了140年。讀者可以對(duì)照相關(guān)教科書細(xì)細(xì)品味。

當(dāng)然，王文素得到的導(dǎo)數(shù)（乙方），只涉及各次冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。這是一種一次項(xiàng)（線性項(xiàng)）與高次項(xiàng)（非線性項(xiàng)）可以分開的函數(shù)的求導(dǎo)。三角函數(shù)的求導(dǎo)王文素當(dāng)然沒有涉及。但這并不影響王文素為微積分導(dǎo)數(shù)第一人（前面也說了，除非他的方法是他之前的民間方法的匯總）。作為開拓者，這個(gè)名頭非他莫屬。至于微積分的后續(xù)發(fā)展，在西方也不是一人、一日之功。后續(xù)乏人，難道也要王文素負(fù)責(zé)？至于西方三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是誰、和什么時(shí)間得到的，我還沒有查到，就算是牛頓、萊布尼茲已經(jīng)得到了它，人們也沒有以三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求得來定義微積分的發(fā)明標(biāo)志的。這個(gè)說法不成立。況且按筆者前期文章的分析，教科書中的使用三明治定理對(duì)三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，其實(shí)是有錯(cuò)誤的，它會(huì)產(chǎn)生“0＜0＜0”這樣的問題。

二、重新發(fā)掘、肯定、弘揚(yáng)王文素微積分貢獻(xiàn)的重要意義及對(duì)可能的異議的反駁

有人致力于否定我國古代科學(xué)、數(shù)學(xué)成就也許可謂不遺余力。他們也許會(huì)以王文素“未成體系”來否定其成就和微積分發(fā)明人的地位。其實(shí)這根本就站不住腳。就是“現(xiàn)代微積分”，也不是一人、兩人獨(dú)立完成的（羅馬不是一天建成的），牛頓、萊布尼茲究竟完成了微積分的多少內(nèi)容，筆者未做考證，想必實(shí)際也不會(huì)太多。他們只是開了個(gè)頭。如此，王文素不是也開了個(gè)頭？我們指的不就是、也僅僅是這個(gè)？如果說完善才是創(chuàng)建，那就算按西方的認(rèn)識(shí)，為什么不說柯西是微積分的創(chuàng)始人，而說不甚完善的牛頓、萊布尼茲是微積分的創(chuàng)建人？牛頓可以以不完善為創(chuàng)始人，王文素就不行了，就必須完善了才是創(chuàng)始人？更何況前面我也說了，就微積分、導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)而言，王文素提出導(dǎo)數(shù)的方式比牛頓、萊布尼茲以致后來的柯西、外爾斯特拉斯高明的多，且沒有錯(cuò)誤、矛盾。而前者是錯(cuò)的，或顯（第一代）或隱（第二代）會(huì)產(chǎn)生貝克萊悖論。如此，還有什么理由否定王文素創(chuàng)建微積分、提出導(dǎo)數(shù)（乙方）的成就嗎？叫了個(gè)“乙方”，未叫“導(dǎo)數(shù)”，就不認(rèn)識(shí)了？

有人或許還會(huì)以王文素“僅僅”得到了導(dǎo)數(shù)（乙方）（即使如此，也必須承認(rèn)是一個(gè)大成就了）而沒有提出積分問題來求全責(zé)難，質(zhì)疑其微積分發(fā)明人的歷史地位。這在過去，或許還成立，但在筆者的新觀點(diǎn)下，這個(gè)看法也不能成立。因?yàn)楣P者一再強(qiáng)調(diào)，在筆者提出的導(dǎo)數(shù)的第二定義下（見筆者前期相關(guān)論文），所謂積分，就是大些的微分；而所謂微分，就是小些的積分。二者沒有本質(zhì)的區(qū)別。也就是說，積分與微分之間，是滿足可加性的。這就回歸了微分、積分的本原，使理論大為簡化且合理。比如，還是以二次函數(shù)為例，導(dǎo)數(shù)是2x（附錄文中就是2h，為了簡化起見，省去了a2，或令a2 = 1），傳統(tǒng)意義的微分（二次函數(shù)增量的線性主部）就是2x?△x（附錄文中就是2h?k）,而二次函數(shù)的增量就是

（x + △x）2 - x2 = 2x?△x + △x2 = （2x +△x ）?△x。在附錄文中就是（h + k）2 - h2 = 2h?k + k2 = （2h + k）?k。設(shè)x + △x點(diǎn)與x點(diǎn)的中值定理意義的“中值”（注意，并不是幾何意義的“中間點(diǎn)”）為△x0 ，則此中值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)顯然就是2（x + △x0 ），對(duì)照二次曲線的增量，也就是過曲線上過x + △x與x二點(diǎn)的割線（其斜率與中值點(diǎn)△x0 的導(dǎo)數(shù)數(shù)值相等，也是2（x + △x0 ）。它與△x0 的切線是平行的。這可以由“中值定理”直接看出）。而顯然，2（x + △x0 ）? △x的數(shù)值就是函數(shù)增量（x + △x）2 - x2 = 2x?△x + △x2 = （2x +△x ）?△x。對(duì)比二式，即有2（x + △x0 ）= 2x +△x ，同時(shí)可以得到2△x0 = △x。于是，只要滿足這個(gè)關(guān)系式，由中值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的增量，與用x點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)先求出所謂的函數(shù)的“線性主部”2x ?△x再加上高階項(xiàng)△x2 得到的函數(shù)的增量（x + △x）2 - x2 = 2x?△x + △x2 = （2x +△x ）?△x就是完全一樣的。而函數(shù)的增量，就是其“積分”?？梢姡m然王文素沒有提出中值概念，也沒有什么中值定理，那是因?yàn)閺乃那蠓ㄖ校揪筒恍枰@些概念。因?yàn)榉凑彩?x +△x ，而既然2（x + △x0 ）= 2x +△x ，又何必再明寫出2（x + △x0 ）？在王文素那里，這些都是疊床架屋的重復(fù)，根本就不需要的，無需多說。而只有由于西方無論牛頓、萊布尼茲還是柯西、外爾斯特拉斯，深陷無窮小或非平凡極限（分母上是自變量的比式的趨0極限。我這是說的“文雅”些的，其實(shí)說的明白些就是“不正常極限”，“根本就不存在的極限”）的泥淖之中，因此不得不費(fèi)了好大的勁來又去證明這個(gè)中值的存在性和中值定理。而如果沒有這些“累贅”，只有增量（我們求的就是增量），中值定理根本就不是定理，它無需證明，在邏輯上它就是整個(gè)理論的出發(fā)點(diǎn)。而這一切正是王文素（可能還更早的多）500年前所做的，筆者500后所重新并且更明確地認(rèn)識(shí)到的。而500年前的王文素，由于根本就沒有無窮小或非平凡極限需要操心，當(dāng)然談不上什么“更明確的認(rèn)識(shí)”，也不需要這種認(rèn)識(shí)，因?yàn)樵谒磥?，不需要極限與無窮小的后來稱之為微積分的運(yùn)算，本來就無需無窮小與極限。更何況無論無窮小還是非平凡極限，還都有貝克萊悖論的矛盾問題。因此，那種以王文素沒有提到錯(cuò)誤的、會(huì)產(chǎn)生貝克萊悖論的非平凡極限或無窮小就說明他沒有發(fā)明微積分的看法，根本就不能成立。反正，恰好正是王文素沒有提到這些“累贅”、“包袱”和“錯(cuò)誤”，才使得他其實(shí)在500年前就得到了完全正確的、無矛盾的、簡潔的微積分。而這一切，筆者也是在最近（他之后500年）才充分才認(rèn)識(shí)到，也就是才從無窮小、非平凡極限的泥淖中掙扎著爬了出來?？墒?，絕大多數(shù)人，還在坑里沾沾自喜著呢。呵呵。

至于連接積分與微分、導(dǎo)數(shù)的橋梁“微積分基本定理”，在王文素那里，由于其積分是順理成章自然得到的，因此無需單獨(dú)提出。只有建立在無窮小或非平凡極限上的西方微積分，才需要這種東西。而且由于無窮小或非平凡極限運(yùn)用于微積分求導(dǎo)根本就不對(duì)，因此這個(gè)定理自然在其邏輯本質(zhì)上也不可能是對(duì)的。

至于在筆者導(dǎo)數(shù)的第一定義下的積分觀念和所謂筆者的“新微積分基本定理”概念的提出，見本文后面的“補(bǔ)遺”部分。

總之，如果沒有充分認(rèn)識(shí)到對(duì)微積分而言，無窮小和非平凡極限就是暗疾，那自然會(huì)認(rèn)為王文素沒有提此二瑕疵于是與微積分失之交臂（就算如此，其實(shí)也不對(duì)。因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值他非常明確地給出來并且運(yùn)用于算法中了！作為優(yōu)先權(quán)，這就足夠了）。但如果能深刻意識(shí)到，同時(shí)論證出對(duì)微積分而言，無窮小和非平凡極限都是不但不需要，還是因其錯(cuò)誤必須拋棄的“贅物”，那立刻就會(huì)理解或體會(huì)到王文素的偉大。理由很簡單，他的理論或做法，從一開始就沒有這些“贅物”，具體說就是沒有這兩個(gè)已經(jīng)找了大家?guī)装倌曷闊┑摹皩氊悺?。因此之故，我完全有?quán)也有資格呼吁，今后國內(nèi)的微積分教材，應(yīng)該把王文素看做是世界微積分第一人（直到如果發(fā)現(xiàn)還有其他人比其更早為止）！

這里不妨再重復(fù)一次極限法微積分求導(dǎo)（更確切地說，應(yīng)該是“非平凡極限法”或“不存在的極限法微積分”。所謂的“第二代微積分”，或“標(biāo)準(zhǔn)分析”）的問題所在，以此襯托王文素導(dǎo)數(shù)的正確性。

非平凡極限法微積分的導(dǎo)數(shù)定義就是求分母上是自變量△x 的一個(gè)比式△y/△x（筆者稱其為“非平凡比式”）在其自變量△x → 0時(shí)的極限值（非平凡極限）。這個(gè)極限不僅僅是不可達(dá)的（其函數(shù)值公認(rèn)是無意義的0/0），而且是“非平凡”（客氣的講法，照顧面子的講法。套話。其實(shí)就是“非正常極限”）的，其實(shí)不客氣地說，就是錯(cuò)的！不成立的極限！因?yàn)轱@然，無論牛頓、萊布尼茲還是柯西、外爾斯特拉斯，求導(dǎo)之前（或說求導(dǎo)過程中、過程的一開始）都要有通過約分消去分母上的自變量△x這一步。且不說筆者一再強(qiáng)調(diào)的只要一約分，分母上的自變量△x其實(shí)就是自動(dòng)為“1”了，而不是無端地“沒有了”。這些且不論。我們說，既然消去了分母，舉例，比如對(duì)△y/△x = （2x + △x）?△x/△x我們消去了分母△x后為（2x + △x），再對(duì)后者求△x → 0時(shí)的極限值。那么，只要有人硬敢說△y/△x = （2x + △x）?△x/△x與（2x + △x）的△x → 0時(shí)的極限值是一樣的，那么，既然“一樣”，你憑什么不在一開始就把導(dǎo)數(shù)的定義寫成（2x + △x）在△x → 0時(shí)的極限值？不是一樣嗎？如此寫，不行？為什么非得寫成是△y/△x = （2x + △x）?△x/△x在△x → 0時(shí)的極限值？更何況所有的教科書中實(shí)際直接求的，還就是沒有了△x/△x的（2x + △x）在△x → 0時(shí)的極限值，而并沒有直接從△y/△x = （2x + △x）?△x/△x這個(gè)比式來求其在△x → 0時(shí)的極限值。你說反正都一樣，那好，既然都一樣，就寫導(dǎo)數(shù)的定義為（2x + △x）在△x → 0時(shí)的極限值可不可以？敢不敢？憑什么就不可以？說出理由來。如果心虛了，說可以吧，敢?。ú豢梢砸膊恍邪?，邏輯上說的通嗎？）。那好，既然“可以”，也“敢”了，那2x + △x是什么？不就正是割線方程的系數(shù)也就是割線的斜率啊？當(dāng)無論 △x = 0還是△x → 0（此時(shí)無分母問題，二者都一樣，是一回事），或干脆就如王文素所做的，不理睬它，最后得到的2x，不就是二次曲線在x點(diǎn)的切線斜率啊？也就是切線方程的系數(shù)。這個(gè)求導(dǎo)法，涉及分母沒有？還有貝克萊悖論的問題沒有？而這正是王文素、在下，也許還有Range所作的。也是微積分求導(dǎo)應(yīng)該有的，其實(shí)也就是所有傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)（無論牛頓、萊布尼茲、柯西、外爾斯特拉斯等等）實(shí)際所能做到的，但卻沒有認(rèn)識(shí)到其意義的。傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)，雖然其實(shí)也是具體這么做的，但卻一頭扎進(jìn)無窮小、非平凡極限的泥淖之中而不能自拔。

總之，無論牛頓、萊布尼茲還是柯西、外爾斯特拉斯的西方傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)，都是基于函數(shù)y與自變量x的增量的“非平凡”比式 k（x，△x）?△x/△x的。盡管他們在實(shí)際操作中都消去了△x/△x（也就是“不寫了 ”），直接針對(duì) k（x，△x）求導(dǎo)，但他們對(duì)導(dǎo)數(shù)（瞬時(shí)速度）的定義式，是毫無疑問地是針對(duì)比式 k（x，△x）?△x/△x的。只不過他們都誤以為對(duì)趨 0極限而言，k（x，△x）與 k（x，△x）?△x/△x等值而已（這當(dāng)然是錯(cuò)的，由此才有的貝克萊悖論）。而王文素不一樣，他在附錄中的（3）式中，實(shí)質(zhì)上實(shí)際是直接由只涉及增量（而不是增量比！）的 k（x，△x）?△x（注意，在（3）式中h就是x，k就是這里的△x。高階的△x都已經(jīng)被舍棄了）求的導(dǎo)數(shù)k（x，0）。這與筆者和Range的做法實(shí)際上是完全一致的（具體做法上可以有所差別）。對(duì)應(yīng)筆者的“導(dǎo)數(shù)（瞬時(shí)速度）新定義”（也許Range也得到了這個(gè)定義，待考）而言，這幾乎就是順理成章的事，根本就無涉什么無窮小和非平凡極限之類終歸會(huì)產(chǎn)生矛盾且根本就解釋不清的概念。而在王文素140多年之后才產(chǎn)生的經(jīng)典微積分，卻反而多出來了這些矛盾與麻煩。這個(gè)意義上，王文素不是什么領(lǐng)先西方微積分140多年的問題，而是他的完全正確的微積分領(lǐng)先西方有瑕疵、有矛盾（貝克萊悖論）的微積分140多年的問題。也可以無愧地說，他作為一個(gè)完全正確的微積分導(dǎo)數(shù)概念（乙方）的得到者、提出者，是領(lǐng)先筆者（也許還有Range）的正確的微積分導(dǎo)數(shù)概念的提出早500年的問題！請問袞袞諸公：這樣的人（中國人、山西人、汾陽人）不偉大，還有誰偉大？我想，對(duì)中國古代數(shù)學(xué)充滿崇敬和深入研究的吳文俊先生如果還在，他是一定會(huì)非常高興的。正確的導(dǎo)數(shù)概念的提出并運(yùn)用于計(jì)算的，起碼是500年前的中國人王文素（如果是他鉤沉出的古法，那時(shí)間還要早！待考），而撥亂反正、正本清源的工作，不能不說是筆者在其500年后完成的。

一句話，微積分的真諦，其目的很明確，就是用于計(jì)算的。無論在牛頓那里，還是萊布尼茲那里，都是如此的。至于為什么冒出來了很多諸如無窮小、極限之類的半哲學(xué)概念，是因?yàn)樗麄兌加玫姆帜笧樽宰兞康脑隽勘戎岛瘮?shù)這個(gè)特殊的函數(shù)來開展微積分導(dǎo)數(shù)相關(guān)的工作。這是不得已。而并非微積分的計(jì)算本質(zhì)、初衷所要求的。況且如此一來，整個(gè)微積分理論給弄的無比復(fù)雜費(fèi)解，且本質(zhì)上還就是有矛盾的（貝克萊悖論）。這個(gè)矛盾的緣由，其實(shí)本質(zhì)上就是分母為自變量的增量比與無分母的增量之間在0點(diǎn)的表現(xiàn)差別的矛盾所致。它們一個(gè)的無論函數(shù)值還是極限值（非平凡極限）都是0/0，一個(gè)卻是正常的（比如2x等等）。盡管極限法微積分（所謂“第二代微積分”、標(biāo)準(zhǔn)分析）聲稱自己已經(jīng)解決了這個(gè)問題，但實(shí)際上遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有，這從筆者系列文章中的分析可以看出 。而王文素從一開始就沒有把整個(gè)理論建立在分母為自變量的增量比函數(shù)上，他直接了當(dāng)?shù)貜脑隽亢瘮?shù)得到的導(dǎo)數(shù)（乙方），因此干凈利落地與什么無窮小、非平凡極限一類的概念進(jìn)行了事實(shí)上的切割。因此自然根本就不會(huì)再有什么矛盾（貝克萊悖論）。而500年后，筆者得到的正是這點(diǎn)。只不過王文素根本就不知道在其140年、200多年后發(fā)生了什么，因此完全沒有機(jī)會(huì)對(duì)無窮小、極限等等有問題的“理論”發(fā)表看法。而筆者是與大家一樣，先被這些似乎板上釘釘，寫入教科書的，大部分人深信不疑的一套所誤導(dǎo)，然后才經(jīng)過艱苦的思辨才從該泥淖中爬出來的。因此，說筆者是正本清源，無形中返回了500年前王文素的簡潔、正確導(dǎo)數(shù)觀念亦不為過。

更何況在邏輯上，如果我們說在0點(diǎn)函數(shù)值為無意義的0/0，因此定義域不包括0點(diǎn)了，而定義域不包括0點(diǎn)，就可以約分消去分母上的自變量。而消去后，就可以有0點(diǎn)的有意義的非0/0型的極限值；那么，在邏輯上不是也可以仿上面的說法但反過來，認(rèn)為在0點(diǎn)的極限值為無意義的0/0，因此極限函數(shù)的定義域不包括0點(diǎn)，約分消去分母上的自變量后，不也可以同理求出0點(diǎn)的非0/0型的函數(shù)值了嗎？即：無函數(shù)值，有極限值，與無極限值，有函數(shù)值，兩種截然相反的結(jié)論所運(yùn)用的邏輯，不是一樣的嗎？如此，也足可見極限法之無道理。更何況就算是對(duì)分母不是自變量的一個(gè)平凡極限，都不應(yīng)該以其不可達(dá)極限值去充當(dāng)函數(shù)值。比如，函數(shù)x，x≠ 0，即在0點(diǎn)無定義。但有x → 0作為0點(diǎn)的不可達(dá)極限。然后又任命這個(gè)不可達(dá)極限0就是x函數(shù)在0點(diǎn)的函數(shù)值（x函數(shù)在0點(diǎn)又有定義了?。?，有這么干的嗎？與其如此，x在0點(diǎn)本來不就“可以”在0點(diǎn)有函數(shù)值0的嗎？有何比非要不去定義而以其在0點(diǎn)的極限值0來再定義？多次一舉究竟為何？

三、康托對(duì)角線法引出的所謂“實(shí)數(shù)不可數(shù)”問題與微積分導(dǎo)數(shù)問題在邏輯上的類比

事實(shí)上，正如筆者系列文章所分析的，對(duì)比康托對(duì)角線法聲稱證明了實(shí)數(shù)的不可數(shù)性。但實(shí)際上，正是需要先假設(shè)了“實(shí)數(shù)不可數(shù)”，才能使用康托對(duì)角線法。為邏輯循環(huán)。它只是表面上先假設(shè)了“實(shí)數(shù)可數(shù)”，圖具反證法的形式。但實(shí)際上，由于多進(jìn)制下每一位可以對(duì)應(yīng)不止一個(gè)數(shù)這個(gè)隱含的前提，因此作為多進(jìn)制之所以提出的目的，就是位數(shù)不能與其能表達(dá)的所有數(shù)一一對(duì)應(yīng)。或其目的就是用較少的數(shù)（或“位置”。這里是位數(shù)）去盡可能多地表達(dá)更多的數(shù)，以節(jié)約所占空間位置。因此對(duì)角線法的運(yùn)用前提，等于要有一個(gè)隱含的實(shí)數(shù)不能與某自然數(shù)序列一一對(duì)應(yīng)的前提、假設(shè)。具體說就是，它先假設(shè)了所列實(shí)數(shù)與一個(gè)自然數(shù)序列A（位數(shù)）一一對(duì)應(yīng)上了，然后必然就不能再與多進(jìn)制下的位數(shù)（作為自然數(shù)序列A）可以表達(dá)的同樣也是自然數(shù)的自然數(shù)序列B一一對(duì)應(yīng)了。于是，康托對(duì)角線法所實(shí)際證明的，實(shí)質(zhì)是“在所列實(shí)數(shù)與自然數(shù)序列A一一對(duì)應(yīng)的前提下，不能再與自然數(shù)序列B一一

對(duì)應(yīng)”這一點(diǎn)而已。 因此，這個(gè)證明并沒有證明實(shí)數(shù)在任何情況下都不能與自然數(shù)序列一一對(duì)應(yīng)。正如你不能假設(shè)先假設(shè)一個(gè)自然數(shù)序列a一一對(duì)應(yīng)于另一個(gè)自然數(shù)序列b的偶數(shù)序列。然后令某集合先與自然數(shù)序列a 一一對(duì)應(yīng)，但由于a已經(jīng)與b的偶數(shù)序列一一對(duì)應(yīng)了，而b的偶數(shù)序列是b序列的一個(gè)真子集，此時(shí)不能再一一對(duì)應(yīng)了，于是該“某集合”不能與自然數(shù)序列b一一對(duì)應(yīng)。然后就此得出結(jié)論說如此證明了該“某集合”在任何情況下與自然數(shù)序列都不能一一對(duì)應(yīng)。這當(dāng)然是錯(cuò)的。

極限法微積分也類似，從約分消分母上的自變量才能得到在0點(diǎn)有非0/0的、有意義的趨0極限值。而實(shí)際上，正是要有非0/0型的極限值，才能約分。因?yàn)楣P者早就分析論證了，對(duì)分母上的自變量約分就是把其變?yōu)椤?”，或起碼也是任何非0值（就比如“5”）?？傊扔谑裁炊伎梢裕褪遣荒艿扔?。換言之，趨于什么都可以，就是不能趨于0。這是約分的結(jié)果，也是約分的前提。因此，完全沒有，也就是不能說約分消去分母求出了非0/0型的有意義的極限，因?yàn)檫@種約分的前提就是不能有0/0型的極限值。典型的循環(huán)論證或邏輯循環(huán)，不成立的。

總之，想通過約分拿掉（抹去、消去）公式中的△x/△x，只有令其等于非0/0的1/1或起碼也是任何非0/0的比如5/5。但同時(shí)，約分的前提又是△x/△x中的△x不能等于0，即不能有0/0，△x可以等于任何值，比如1或5，但就是不能等于0。既然△x不能等于0，就是只能是1或起碼是比如5之類的非0數(shù)。而△x無論是1還是5，能由△x→ 0 得到嗎？也就是說，想用約分來得到增量比式的在0點(diǎn)的極限值是不可能的，這必然陷入邏輯循環(huán)或邏輯矛盾之中。

四、王文素在中國古代數(shù)學(xué)傳承中承上啟下的重要意義——世界數(shù)學(xué)史必須改寫

行文至此，筆者真的是無比地激動(dòng)！筆者早就心存疑慮，一貫長于計(jì)算、算法的中國古代數(shù)學(xué)，何以竟然沒有發(fā)明微積分這一計(jì)算利器、算法利器？總覺難以理解。因此筆者總是安慰自己：怕是失傳了，或淹沒在哪個(gè)故紙堆中了?，F(xiàn)在，一個(gè)極其偶然的機(jī)會(huì)，使得筆者知道了500年前的王文素及其成果，可以與之神交了。這終于印證了筆者內(nèi)心的感覺、直覺，就是中國古代應(yīng)該會(huì)出現(xiàn)這樣的成就！而且事實(shí)上還大大超出了筆者的預(yù)期：王文素在500年前，早于西方牛頓他們140年，提出的還就是筆者費(fèi)了不少勁才搞定的無瑕疵的、完全正確的、無矛盾（貝克萊悖論）的、簡潔的微積分導(dǎo)數(shù)。而牛頓導(dǎo)數(shù)觀之庛，大家還都認(rèn)賬。而柯西等的非平凡極限法之庛，大家居然不是看不出來，就是不愿意“看出來”，被什么極限之類的華麗說辭一繞給繞進(jìn)去了。由此觀之，此庛，不僅是庛，實(shí)為大庛、惡庛。于是我們終于可以坦蕩地、也是實(shí)事求是地說，王文素他不僅僅是已知最早得到導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的人，而且更重要的是，他是得到完全正確的導(dǎo)數(shù)（乙方）概念的人，也就是筆者的所謂“新導(dǎo)數(shù)定義”。他實(shí)際得到的，就是這個(gè)東西，盡管他沒有這么明確地說出來、給出明確的定義。但他確實(shí)實(shí)際地做出來了、得到了。白紙黑字寫在那里，不承認(rèn)也不行。筆者在微積分理論詮釋方面可謂“撥亂反正”，而王文素在500年前，牛頓等的140年前，根本就沒有“亂”，他當(dāng)然無須“撥”什么“亂”。那些“亂子”是在他140年之后才出現(xiàn)的。

總之，僅就正確的、無瑕疵的微積分導(dǎo)數(shù)的提出而言，王文素不是比牛頓他們有公認(rèn)瑕疵的微積分早140年的問題（他們以及其后100多年的柯西、外爾斯特拉斯等的導(dǎo)數(shù)的極限詮釋仍舊有誤，但更隱蔽。但惡劣的是，這個(gè)詮釋幾乎被所謂的“主流”看成是完全正確而無矛盾的），而是比我和Range（他是否“夠格”，資料還不夠充分。僅從李紅玲教授的簡略介紹來看，似乎應(yīng)該如此）早500多年的問題。筆者過去曾暗想（不可明說，得由人家來說），微積分肇始于300年前的牛頓、萊布尼茲，而正確無誤的導(dǎo)數(shù)詮釋竟然終結(jié)于在下。但現(xiàn)在看來，并不是！微積分正確的導(dǎo)數(shù)的得到與應(yīng)用，起碼肇始于500年前的王文素（當(dāng)然可能更早，王也許是引錄前人的方法的。待考）。筆者不過是“千辛萬苦”，從無窮小、非平凡極限法微積分誤導(dǎo)的泥淖中“爬出”重新得到了500年前王文素早就得到的東西而已。王文素何其有幸，沒有經(jīng)歷過什么“分母是自變量的非平凡極限（根本就不存在的極限）”之類的說辭的誤導(dǎo)，他直接了當(dāng)、干凈利落、無比自然地就得到了含義正確的導(dǎo)數(shù)（而我在500年后卻不得不將之名之為“新”導(dǎo)數(shù)定義以區(qū)別于牛、萊、柯、外的導(dǎo)數(shù)定義 ）。我是“正本清源、返璞歸真”，而王文素其實(shí)在500年前就是“正且清，璞且真”的了。這個(gè)意義上，毫無疑問，王文素就是導(dǎo)數(shù)（他叫“乙方”而已）第一人，微積分第一人！

具體地說，微積分的本質(zhì)其實(shí)就是針對(duì)函數(shù)宏觀意義的、通常意義的增量的計(jì)算、運(yùn)算。而根本就不必涉及無窮小、非平凡極限這樣的偏哲學(xué)概念。王文素從500年前的一開始就是如此做的，而筆者是從頭重新認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)的。在這個(gè)意義上，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)根本就沒有通常人們認(rèn)為的那些本質(zhì)的區(qū)別。我們這里涉及的是微積分的正確概念的開始，當(dāng)然不是指的其后續(xù)發(fā)展即內(nèi)容的不斷豐富。明朝之后的后繼乏人，不能算到王文素頭上。他開了個(gè)好頭，沒有后來人，能怪他？能否定他率先得到正確的導(dǎo)數(shù)這一點(diǎn)？我們這些500年后的“今人”需要做的，是不能繼續(xù)無視他的貢獻(xiàn)。500年前沒有伯樂（王曾感慨。見本文后面引述的他的詩作），難道過去都500年了，還沒有？難道還要再等500年才有伯樂出嗎？趙擎寰等先生可算伯樂，但惜乎早逝（06年 ），當(dāng)今識(shí)者當(dāng)繼之。

特別提一下，趙擎寰先生曾說：“對(duì)于17世紀(jì)微積分創(chuàng)立時(shí)期出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)，王文素在16世紀(jì)已率先發(fā)現(xiàn)并使用，因而，只從微積分的角度探索導(dǎo)數(shù)的起源是不夠的。由此看來王文素對(duì)世界數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)還應(yīng)更深入的研究?！?/p>

他這句話盡管對(duì)王文素評(píng)價(jià)很高，但容易、也已經(jīng)引起了誤解：似乎王文素雖然提出導(dǎo)數(shù)是提出了，但不是用的微積分方法。理由大概不外是沒有使用無窮小或者極限，不敢提他搞的就是微積分。還說要“更深入的研究”。實(shí)際上，這給了那些傾向于民族虛無主義的人以口實(shí)。“你看，你們自己都不敢承認(rèn)王文素搞的是微積分吧？”。但依照本文及筆者系列有關(guān)文章揭示的，真正的、無矛盾的微積分，就該是王文素這個(gè)樣子的，無非平凡極限和無窮小概念的，只涉及增量的。由于沒有吃透這一點(diǎn)，趙擎寰先生惑于極限、無窮小概念，因此未敢大方地把王文素導(dǎo)數(shù)（乙方）與微積分直接掛鉤。給人一種印象，似乎王文素白紙黑字是“寫出”導(dǎo)數(shù)（乙方）了，但他自己未必知道導(dǎo)數(shù)為何物似的。其實(shí)，正如筆者所言，此點(diǎn)完全過慮了。王文素不但最先提出的導(dǎo)數(shù)，而且是最先提出了完全正確的導(dǎo)數(shù)。而140年后牛頓他們才是真正提出雖然數(shù)值正確，但概念上有矛盾的導(dǎo)數(shù)。也就是說，王文素與牛頓他們的地位完全應(yīng)該顛倒過來：不是王沒有明確給出導(dǎo)數(shù)的確切含義，而是牛頓（包括更晚的柯西等）等給出的“舍棄高階無窮小”、“最終比”、非平凡極限等概念用于解釋導(dǎo)數(shù)是錯(cuò)的。因此，必須理直氣壯地給王文素正名！趙擎寰先生如果再生，當(dāng)可釋然了。

此處，再一次對(duì)所謂的“非平凡極限”做一點(diǎn)論述。柯西等的“極限法求導(dǎo)”，是沒有提到什么平凡不平凡的問題的，在他們眼里，其所使用的極限就是極限，沒有什么可以“非平凡”的。但是實(shí)際上，在筆者的分析下可以看出，他們在求導(dǎo)過程中所使用的極限，絕對(duì)不是正常的極限，而是很不正常的極限。具體說，就是筆者一再提到的分母為自變量的一個(gè)比式在自變量趨于0時(shí)的極限。這個(gè)極限不一般，其實(shí)它的極限就是無意義的（也可以說是“非平凡的”）0/0，與其函數(shù)值一致。理由前面及前期文章都討論的很充分了，不再贅述。因此，不認(rèn)可或?qū)@個(gè)“非平凡極限”提出異議，并不是對(duì)全部極限概念提出異議。很多人其實(shí)連這個(gè)也搞不清楚。不得不在此多說兩句。

五、微積分優(yōu)先權(quán)的問題，該不該爭？

關(guān)于該不該爭論微積分求導(dǎo)優(yōu)先權(quán)的問題。還用說？當(dāng)然該爭。中國人不爭，晉人不爭，汾人不爭，誰給你爭？美國人會(huì)給你爭？歐洲人會(huì)給你爭？須知，當(dāng)年牛頓與萊布尼茲及同時(shí)代人還爭得不亦樂乎呢，我們何必如此“清高”。不給國人爭，等于是給外國人爭。不是不爭，外國人早就在那里爭了【6】。而一些國人，居然不知是無知還是故意，也在幫著外國人爭。比如有某些學(xué)者在大庭廣眾之下，當(dāng)著莘莘學(xué)子的面大言不慚地說什么“中國人在歷史上對(duì)科技的貢獻(xiàn)等于0”什么的。此類無知謬論必須嚴(yán)厲反駁。當(dāng)然，這也是過去對(duì)中國古代文獻(xiàn)掌握不充分所致。但不懂，就應(yīng)該老老實(shí)實(shí)地學(xué)，而不是張口胡說誤導(dǎo)青年。這方面吳文俊先生給我們做出了杰出榜樣。他甚至曾說他一生最大的成就，就是對(duì)偉大的中國古代數(shù)學(xué)的重新認(rèn)識(shí)。所以該不該爭這個(gè)問題是一個(gè)偽命題。還有些人拿韓國一些人的過度爭不合理的優(yōu)先權(quán)來說事兒，似乎誰爭論，誰就與個(gè)別韓國人似的狹隘了。我們說，不合理的、無理的爭，當(dāng)然不可以，但這不能否定合理的，有根有據(jù)的爭。在如此重大的科學(xué)史優(yōu)先權(quán)問題上，實(shí)事求是地返璞歸真，當(dāng)然有利于提升民族自信心。也可以徹底反駁那些認(rèn)為中國古代無科學(xué)可言的無知言論。比如數(shù)學(xué)大家吳文俊先生就說過，他過去也認(rèn)為中國古代數(shù)學(xué)無足輕重，但真正了解研究下去，認(rèn)為不得了，很多東西都是領(lǐng)先西方的。吳先生總不是吹牛的人吧。吳文俊先生特別著文大為贊賞與推崇?九章算術(shù)?對(duì)無理數(shù)的定義方式，認(rèn)為比直接將無理數(shù)定義成無限非循環(huán)小數(shù)要合理、自然的多。并且坦蕩地指出首先看成、指出此點(diǎn)的另有其人（具體人名我忘了）。吳先生高風(fēng)亮節(jié)，比那些明里暗里抄襲別人成果的人不知道強(qiáng)多少倍，沒法比。如果吳先生得知王文素率先得到而且是得到了正確的導(dǎo)數(shù)這回事的話，我想他一定是會(huì)“高興壞了”的！起碼在無理數(shù)的定義、給出和微積分導(dǎo)數(shù)（而且是正確的導(dǎo)數(shù)）這兩個(gè)方面，中國古人都無疑是領(lǐng)先的。況且就是在500年后的現(xiàn)在，西方也沒有人給出正確的微積分導(dǎo)數(shù)的詮釋（定義），當(dāng)然也許Range除外，這個(gè)需要進(jìn)一步的了解、考證。至于國內(nèi)，在下就不客氣地啰。

這里，筆者不得不再一次澄清一下：筆者詬病極限法微積分（準(zhǔn)確地，應(yīng)該是“非平凡極限法微積分”），并不是籠統(tǒng)地、一般地否定極限。在與一些人的討論中，筆者發(fā)現(xiàn)，很有些人搞不清筆者的意思，以為筆者認(rèn)為所有的極限都不存在似的。這實(shí)際上當(dāng)然不對(duì)。筆者詬病的，是極限法微積分（其實(shí)應(yīng)該更準(zhǔn)確地稱其為“非平凡極限法微積分”或“非正確極限法微積分”、“非正常極限法微積分”。理由前面即筆者系列有關(guān)論文中已經(jīng)充分地討論了）。具體說，就是一個(gè)分母為自變量的比式的趨0極限。也就是前面說的△y/△x 這樣的式子的在△x → 0時(shí)的極限。它本不存在、或說實(shí)際也等于與其函數(shù)值一樣的、無意義的0/0。而無分母或分母不是自變量的非比式的極限，比如二次函數(shù)下的2x + △x 這樣的式子的△x → 0下的極限，當(dāng)然是有的，它與其函數(shù)值是一致的，憑什么沒有呢？問題僅僅是，傳統(tǒng)上認(rèn)為非平凡的一個(gè)比式與一個(gè)非比式的趨0極限是一回事，而筆者只是認(rèn)為、揭示、論證了它們不是一回事而已。

總之，對(duì)微積分發(fā)明權(quán)、發(fā)明人的正本清源，有助于提振我們的民族自信心。當(dāng)今之世，這一點(diǎn)還是十分重要的。有人說爭這個(gè)沒有什么意思，這個(gè)說法當(dāng)然是不對(duì)的。當(dāng)年牛頓、萊布尼茲為了類似的事情，還爭的一塌糊涂呢，而且牽涉到幾十年間英國與歐洲大陸之間學(xué)者間的抵牾。因此，事實(shí)證明，即使在西方，該爭的也還是要爭的，絕對(duì)沒有那么超脫。換言之 ，中國人的成就 ，中國人不去爭，誰還為你爭？事實(shí)上，西方部分人人有意無意或說刻意貶低中國古代科學(xué)、數(shù)學(xué)成就的，他們并不都是圣人。更何況、而且是最重要的，王文素的成就，是實(shí)實(shí)在在的。無論時(shí)間還是內(nèi)容。因此，這是本質(zhì)是一個(gè)實(shí)事求是的問題，還不是一個(gè)單純的爭名譽(yù)的問題。

筆者不是一個(gè)隨便亂說話的人，沒有十足的把握，不會(huì)輕易下結(jié)論。因此，對(duì)王文素微積分成就的評(píng)價(jià)結(jié)論，應(yīng)該是經(jīng)得起歷史考驗(yàn)的。

六、撥亂反正意義下的極簡微積分概念發(fā)展史綱要

對(duì)于微積分概念，或?qū)?shù)概念發(fā)展史，這里可以提出一個(gè)極簡版本（作為一部真正意義的“信史”）：

1、明朝山西汾陽人王文素在500年前出于求高次方程的目的（實(shí)際就是曲線方程、非線性方程），得到或提出導(dǎo)數(shù)（乙方）概念。并且正式運(yùn)用其于解方程和插值運(yùn)算。他直接針對(duì)的就是函數(shù)增量，完全無涉無窮小、非平凡極限概念。這是正確的。他已經(jīng)得到正確的導(dǎo)數(shù)概念了，當(dāng)然也就不會(huì)也不可能去評(píng)論、分析、指正140年后才出現(xiàn)的無窮小、非平凡極限之于導(dǎo)數(shù)概念的謬誤之處了。王所得到的導(dǎo)數(shù)（乙方）的途徑，完全是基于增量方程而不是增量比值方程，因此根本就不會(huì)產(chǎn)生貝克萊悖論的矛盾。這與500年后筆者和Range（尚待詳細(xì)考察）的思路是完全一致的。

2、140年之后，也就是大約300多年之前，牛頓、萊布尼茲先后提出微積分導(dǎo)數(shù)概念。但他們都是基于增量比值函數(shù)的，也就是分母是自變量的分式的。這就涉及“約分”消去分母上的自變量的問題。因?yàn)闆]有參透這一步驟的真諦，所以不能不產(chǎn)生貝克萊悖論的矛盾問題。

3、貝克萊正式提出其貝克萊悖論（約幾十年之后）。實(shí)際上，牛頓和萊布尼茲不待貝克萊提出這個(gè)問題，他們自己一定也是知道的。這反映在牛頓一開始基于無窮小，后來又改成“最終比”（其實(shí)就是非平凡極限）；而萊布尼茲正相反（見微積分概念發(fā)展史）。

4、由于貝克萊正式提出貝克萊悖論，而且作為一個(gè)神學(xué)家，大有辱慢不信神的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家的意思，這才引起數(shù)學(xué)家的重視?？挛鳌⑼鉅査固乩沟认群笳教岢鰳O限法（實(shí)際是非平凡極限法、非正確的極限法），通過一些煞有介事、疊床架屋、概念變換的神操作，把無窮小與非平凡極限所產(chǎn)生的問題（貝克萊悖論）掩蓋了起來。于是似乎天下太平了。但其實(shí)問題依舊，這個(gè)筆者早有詳細(xì)的、無可辯駁的論證。但必須強(qiáng)調(diào)，在數(shù)學(xué)史上很少提及的掌故是，大數(shù)學(xué)家歐拉并不同意這種“極限法”，他認(rèn)為導(dǎo)數(shù)就是該導(dǎo)數(shù)點(diǎn)的函數(shù)值，盡管其為0/0。但必須承認(rèn)有這個(gè)東西，其后才是怎么處理的問題。特別應(yīng)該大書一筆的是，偉大的馬克思（還有恩格斯）對(duì)數(shù)學(xué)（主要是微積分）極有興趣，視其為第二學(xué)術(shù)。他的看法與歐拉是想通的。他明確提出，導(dǎo)數(shù)“就是該點(diǎn)之值，完全不需要數(shù)學(xué)家的什么趨于它卻永遠(yuǎn)到不了它的昏話”（大意 ，見馬克思?數(shù)學(xué)手稿?）。但歐拉和馬克思的觀點(diǎn)，幾乎完全被中外數(shù)學(xué)界所無視或邊緣化，鮮有人提及。這只是反映了這些人的無知和傲慢。據(jù)說當(dāng)年還有人說什么“為了維護(hù)馬克思的英名，根本就不該出版?數(shù)學(xué)手稿?這樣不成熟且落伍的東西”。但其實(shí)歐拉與馬克思比之這些人實(shí)際上要高明的多。國外、西方我就不多說了，他們現(xiàn)在骨子里是反馬克思主義的，難免殃及馬克思的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。而國內(nèi)我就看不懂了，不是推崇馬克思的嗎？為什么完全無視馬克思對(duì)微積分的思考與貢獻(xiàn)？這不能不說是國內(nèi)馬哲、數(shù)學(xué)史、科學(xué)史、數(shù)學(xué)方面的學(xué)者的缺失或失職。尤其是馬哲，你研究的就是馬克思主義哲學(xué)，為什么反而對(duì)馬克思對(duì)極限法微積分的質(zhì)疑一字不提？

5、從茲200年于今，數(shù)學(xué)家們在這個(gè)問題上就算有了交代（反正也沒見什么人再提出什么問題了，貝克萊也死了，不能再說三道四了），就算大功告成了。于是有關(guān)非平凡極限法求導(dǎo)的微積分教材（在筆者看來就是故弄玄虛的）“ε-δ”的一套讓學(xué)生們不勝其煩的說辭大行其道，類似教材竟然相互傳抄，以至汗牛充棟。至此，無須乎多言，在這個(gè)問題上，早已形成了不太小的小圈子式的利益集團(tuán)、面子集團(tuán)（美其名曰什么“學(xué)術(shù)共同體”）。其一損俱損，一榮俱榮。而學(xué)術(shù)，早已不復(fù)當(dāng)年王文素、牛頓等誠實(shí)求真的傳統(tǒng)了。

6、進(jìn)入2010年代，筆者從代數(shù)法入手，提出導(dǎo)數(shù)的所謂“新定義”，進(jìn)而在此基礎(chǔ)上徹底澄清了傳統(tǒng)微積分究竟為何如馬克思所言，“從明顯有問題的推導(dǎo)卻得到了完全正確的導(dǎo)數(shù)”的緣由。這都是對(duì)約分的定義的忽視所致。因此返璞歸真，徹底解決了貝克萊悖論問題，使得微積分回歸其本原。也許，美國的Range教授也明乎此。但還需要具體考證。

7、只是在前幾天，筆者才偶然在網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)500年前的明代山西汾陽人王文素對(duì)微積分導(dǎo)數(shù)（乙方）的提出與得到途徑，與500年后的筆者不謀而合（可能還有美國的Range，待考），都不存在貝克萊悖論。王文素當(dāng)然沒有指出非平凡微積分求導(dǎo)之誤在何處，因?yàn)榇祟愓f辭在其身后140年到200多年才出現(xiàn)。他無機(jī)會(huì)也無“義務(wù)”為其百年之后的錯(cuò)誤來澄清什么。這個(gè)工作是筆者完成的。

8、近幾十年來，不斷有學(xué)者對(duì)非平凡極限法微積分求導(dǎo)從不同角度提出質(zhì)疑的。這與歐拉、馬克思是一脈相承的。比如師教民、楊文彪等等（有些名字一時(shí)想不起來了，待以后完善。有些筆者可能還不知道）。盡管在極限法最為要害的地方給以致命一擊的是筆者 。對(duì)于極限法微積分求導(dǎo)的派生問題（二級(jí)問題）的自變量的微分定義問題，也就是自變量的微分不是函數(shù)微分的線性主部，而就是其增量本身的這個(gè)定義，先后提出的人就更多了。其中最有名的是南京大學(xué)學(xué)術(shù)泰斗級(jí)的人物莫紹揆。這是數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)公認(rèn)的大學(xué)問家。更早有朱啟定（1978年）、師教民、梁贊臣等，晚些有丁小平等。還有不少人。這些人都屬于敢為天下先的，比同期對(duì)微積分求導(dǎo)問題完全無感或不敢感的那些人不可同日而語，不應(yīng)被無視。還有一些學(xué)者，認(rèn)為基于非平凡比式（分母為自變量的比式）的非平凡趨0極限法求導(dǎo)是有缺點(diǎn)的（雖然沒有徹底否定，但其實(shí)是事實(shí)上否定或否定其一部分）并明確提出改進(jìn)方案的，國外有。這里只提國內(nèi)的，比如林群院士、張景中院士 、李紅玲教授等。師教民、丁小平、楊文彪等，也先后提出自己的解決方案或過渡解決方案。至于這些方案的進(jìn)退得失，筆者此處不做評(píng)論了，請讀者自辨之。但無論如何，努力方向應(yīng)該肯定。這亦是有關(guān)史實(shí)的一部分。

微分的定義問題，實(shí)際馬克思早就提出了。他是始作俑者。見梁贊臣的文章。馬克思數(shù)學(xué)手稿中的一些思想，比不但當(dāng)時(shí)，而且就是比現(xiàn)在很多吃數(shù)學(xué)這碗飯的人也強(qiáng)的真不是一點(diǎn)點(diǎn)。比如，馬克思認(rèn)為微積分是由明顯錯(cuò)誤的方法得到了正確的結(jié)果。又比如，馬克思認(rèn)為導(dǎo)數(shù)的不斷趨近而又不能達(dá)到是胡說，昏話（翻譯不同）。認(rèn)為導(dǎo)數(shù)就是0點(diǎn)之值，實(shí)實(shí)在在的，根本就不是什么虛無縹緲的不可達(dá)極限。馬克思數(shù)學(xué)手稿多年來被吃數(shù)學(xué)飯的某些人晾在一邊，或攻擊為不靠譜，等等。其實(shí)在現(xiàn)在看來，馬克思到底是馬克思，就是比這些人強(qiáng)不是一點(diǎn)點(diǎn)。不是一個(gè)級(jí)別的。我不說瞎說的，看我的文章就可以知道。天不假年，如果給馬克思幾年壽，說不定馬克思早就徹底解決這個(gè)問題了（沿他的思路），何勞我輩絮叨？不過自變量的微分定義問題其實(shí)不是本質(zhì)的、核心的問題。核心問題仍是導(dǎo)數(shù)。微分問題是一個(gè)次生的問題。單純解決不了的。也就是，如果不對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行重新認(rèn)識(shí)，永遠(yuǎn)解決不了這個(gè)自變量的微分問題的。

說一句振聾發(fā)聵的話吧。“天下學(xué)子苦微積分久矣”，實(shí)際應(yīng)該是“天下學(xué)子苦極限法微積分久矣”。而500年前的王文素，完全沒有受到牛頓、萊布尼茲所謂“第一代”（晚了140年）和柯西、外爾斯特拉斯的所謂“第二代”（晚了200多年）微積分導(dǎo)數(shù)觀的污染，因此極端的干凈利落。沒有任何非平凡極限法的拖泥帶水、無理強(qiáng)辯的東西在。而筆者則是徹底地揭示了傳統(tǒng)微積分的問題所在，返璞歸真，回歸微積分、導(dǎo)數(shù)的真諦。在王文素那里幾乎就是順理成章、極其自然的東西，被西方傳統(tǒng)微積分詮釋誤導(dǎo)這么多年后，撥亂反正、重新給以正確的詮釋是不容易的。這個(gè)事情是我徹底完成的。按照王文素的做法的本質(zhì)和筆者的詮釋來處理、解釋微積分導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題，會(huì)變得極其簡單明確。無論對(duì)教學(xué)還是后續(xù)科研創(chuàng)新，都是極其有意義的。更不用說這還是中國人完成的，無論是500年前還是500年后。

吳文俊先生曾經(jīng)說過（前文已引），微積分實(shí)際上是中國數(shù)學(xué)的路子，更是中式數(shù)學(xué)戰(zhàn)勝希臘式數(shù)學(xué)的歷史必然（大意）【6】。這是吳先生在上世紀(jì)七十年代在完全不知道王文素工作的情況下說的?？梢妳窍壬酃庵翡J，全局觀之把握，確實(shí)勝人一籌。現(xiàn)在好了，有了王文素工作的揭示，確實(shí)印證了吳先生的直感，并且順理成章地補(bǔ)齊了中國乃至世界數(shù)學(xué)史、微積分史的短板：按中國古代數(shù)學(xué)思路的發(fā)展脈絡(luò)，幾乎不可能不發(fā)展出其初衷就是運(yùn)算實(shí)際問題的微積分這樣的東西。吳先生幾年前逝世了，如果他健在，知道這點(diǎn)一定是會(huì)非常高興的，我想。

總之，中國古代數(shù)學(xué)的傳承實(shí)質(zhì)是什么？實(shí)際上筆者以為，就是數(shù)學(xué)對(duì)整個(gè)人類知識(shí)（物理、化學(xué)、材料、社會(huì)等等）的仆人地位。它的出現(xiàn)，就是為它們服務(wù)的。說句笑話，數(shù)學(xué)的發(fā)端或許就是為了數(shù)錢，呵呵。這其實(shí)是數(shù)學(xué)的本來面貌。當(dāng)然，它同時(shí)也是人類知識(shí)的一部分，而且是很重要的一部分。而古希臘的數(shù)學(xué)，眾所周知，甚至具有“神”的進(jìn)而連帶地“神秘”的地位。在他們那里，數(shù)學(xué)、起碼是所謂的高級(jí)數(shù)學(xué)，不是仆人而是高高在上、傲視群雄的主人、帝王。最典型的就是無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)人被處死的問題。中國古代數(shù)學(xué)，就是為了運(yùn)算，為了解決實(shí)際問題而生的，其實(shí)這才是數(shù)學(xué)的真諦，也是它的本來面貌。中國古代數(shù)學(xué)就是一個(gè)簡單、精煉、實(shí)用、一語中的、絕不拖泥帶水。而西方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，難免繁瑣、故弄玄虛、強(qiáng)詞奪理。其優(yōu)點(diǎn)也許是嚴(yán)格，但實(shí)際上正如康托對(duì)角線法問題，實(shí)數(shù)不可數(shù)問題，微積分求導(dǎo)問題等等可以看出，有時(shí)候這種所謂的“嚴(yán)格”，其實(shí)是一些“偽嚴(yán)格”，有錯(cuò)的“嚴(yán)格”。微積分就是用來計(jì)算的，而不是為了讓人們?nèi)ジ闶裁凑軐W(xué)化的無窮小、不可達(dá)極限之類的概念的。這是大家所應(yīng)該牢記的。至于過去不得不走到這一步，那是有些東西沒有搞清所致?，F(xiàn)在既然清楚了，就應(yīng)該返璞歸真了。

此外，華羅庚、王元在上世紀(jì)五十年代也有一文【7】，言及其實(shí)很多數(shù)學(xué)問題無需極限概念就可以用差分（其實(shí)就是“增量”）求得，這實(shí)際上就是華老常年在數(shù)學(xué)科研、教學(xué)中自己的體會(huì)與感想。顯然，他們也是認(rèn)為對(duì)很多問題的求解而言，極限法是很累贅的東西，有時(shí)根本就無必要。當(dāng)然他們沒有更其深入下去，但感覺無疑是遠(yuǎn)勝同時(shí)代的其他人的。在筆者看來，這從側(cè)面也反映出了傳統(tǒng)極限法微積分的問題。

不得不感慨，王文素生前，幾十年皓首窮經(jīng)，懷才不遇，沒有受到重視（從其詩詞中可以看出），以至其煌煌巨著都沒有刊刻出版、公之于世。500年前的明朝之事，我們管不著了，但500年后的當(dāng)今，難道我們?nèi)耘f沒有長進(jìn)，與 500年前一樣，對(duì)其成就不聞不問、任其蒙塵嗎？搞科學(xué)史的袞袞諸公，本應(yīng)以提振民族自信心為己任的有關(guān)部門和人物，難道不感到失職嗎？

引王文素詩詞 ：

身似飄篷近六旬，留心學(xué)算已年深?？嗨忌浦戮駭?，久視能令眼目昏。鐵硯磨穿三兩個(gè)，毛錐乏盡幾千根。如風(fēng)掃退天邊露，顯出中秋月一輪。

暖衣飽食際雍熙，算數(shù)林中論是非。

陋室半間尋妙理，靈臺(tái)一點(diǎn)悟玄機(jī)。

猶如月到天心處，活似風(fēng)來水面時(shí)。

料此一般清意味，世間能有幾人知。

諸家算籍甚差訛，暮玩朝參已證磨。

有意刊傳財(cái)力寡，無人成就恨嗟多。

魯麟直得逢尼父，楚璧須還遇卞和。

良馬若非遇伯樂，鹽車?yán)栏嬲l何。

七、微積分教材及數(shù)學(xué)史方面的修改建議及理由

建議：以后所有的微積分教科書或科學(xué)史方面的書，都應(yīng)該載入王文素對(duì)微積分求導(dǎo)及其運(yùn)用的貢獻(xiàn)。即使本文所提到的新詮釋還沒有廣泛被人理解，也并不影響其微積分發(fā)明權(quán)的歸屬問題。比牛頓早140年，還有什么可說的。更何況牛頓等的微積分、導(dǎo)數(shù)也并不完善，這是公認(rèn)的，否則還要柯西等的“第二代微積分”何干？既然微積分的創(chuàng)始不以大家誤以為的“正確的”柯西非平凡極限法為準(zhǔn)，那即使就算王文素的微積分導(dǎo)數(shù)（乙方）提法有缺失（其實(shí)前面說了，絕對(duì)不是這么回事），憑什么他就不是微積分的創(chuàng)建人？崇洋也不能崇到不顧事實(shí)的地步吧？須知，西方除少數(shù)人如李約瑟，大部分人正如其不會(huì)把科技專利、新技術(shù)訣竅等等輕易與我一樣，其也絕對(duì)不會(huì)把古代科技創(chuàng)新的桂冠輕易地給我們戴上的！這一點(diǎn)要有清醒的認(rèn)識(shí)。別把西方一些人當(dāng)什么能夠“客觀公正”的圣人。自己都不弘揚(yáng)，無人為你弘揚(yáng)。自己都不自豪，誰還替你自豪？

筆者不禁感慨，趙擎寰等學(xué)者之后，關(guān)于王文素微積分成就的討論與弘揚(yáng)似乎歸于沉寂。我只是在最近及其偶然的情況下才了解到還有這回事的。筆者認(rèn)為，過去就算了，大環(huán)境就是一個(gè)崇洋否己氛圍，而現(xiàn)在不一樣了、起碼是應(yīng)該不一樣了！西方一些人、美國一些人，圖窮而匕首見，徹底撕下了客觀公正的假面，其貶低我們的，未必只限于現(xiàn)代。對(duì)他們而言，最好你連古代也不行。對(duì)這些我們一些人要看透，要充分認(rèn)識(shí)?？傊?，弘揚(yáng)古代、歷史的輝煌，絕對(duì)有助于提升我們的民族自信心，絕對(duì)有利于我們攻堅(jiān)克難，突破科技瓶頸，打破美、西的科技封鎖，使得自己真正的崛起、屹立于世界民族之林，取得我們應(yīng)有的科技地位。這是可以實(shí)現(xiàn)的，理由很簡單：歷史上我們曾經(jīng)部分地實(shí)現(xiàn)過了。比如明朝的山西汾陽人王文素！筆者實(shí)際上還有一點(diǎn)小小的想法：我中華泱泱乎大國，一些人渾渾噩噩沉浸其大，不在乎王文素這點(diǎn)小譽(yù)，但僅就桑梓情懷而言，山西人、汾陽人豈可坐視？難道前面對(duì)國人說的話還需要重復(fù)對(duì)你們再說一遍嗎：作為王文素的老鄉(xiāng)，你們自己都不弘揚(yáng)，誰還替你弘揚(yáng)？自己都不自豪，誰還替你們自豪？因此，筆者認(rèn)為，山西、汾陽有關(guān)人員和單位以至全體山西、汾陽還有那些以“大槐樹”為宗的人趕快行動(dòng)起來吧，把你們的文素老鄉(xiāng)“轉(zhuǎn)起”搞搞火吧！在“抖音”上也抖抖吧！與其樹“大槐樹”這個(gè)木，還不如樹“王文素 ”這個(gè)人！別繼續(xù)讓給你們山西人、汾陽人以至中國人掙了大面子的你們的老鄉(xiāng)王文素先生繼續(xù)如500年前一樣地被埋沒下去了，別讓我這個(gè)在山西插過隊(duì)、對(duì)山西很有感情的非山西人獨(dú)自一人地為你們的老鄉(xiāng)、你們的驕傲“鼓與呼”了。我唯一可以保證的，是你們這位老鄉(xiāng)正確的微積分發(fā)明人的地位（提出“乙方”）絕無問題，板上釘釘。王文素的成就擺在那里，值得你們理直氣壯地去充分“肯定”的。如果有無知者說你們“吹?！保桶创宋乃悸分饤l反駁這些人好了。

總之，在如此國際形勢下，砥礪民氣，于今為要。這個(gè)無需筆者饒舌。取得引領(lǐng)世界的成就，古人可為，當(dāng)今反不可為？由此可見，這絕對(duì)不僅僅只是一個(gè)科學(xué)史實(shí)的正本清源問題，而是一個(gè)提振民氣使可用的問題。

故此，筆者此文，望識(shí)者（特別地山西人、汾陽人、所有“以大槐樹為宗”的人）多多轉(zhuǎn)發(fā)，以廣民族、桑梓振興之光。

500年前的王文素，面對(duì)世人的冷落，著作的刊刻無望，不禁感嘆道： “良馬若非遇伯樂，鹽車?yán)栏嬲l知”，“有意刊傳財(cái)力寡，無人成就恨嗟多”。

500年前無伯樂，500年后的現(xiàn)在，仍舊無伯樂乎？難道還要像一首歌中所唱的，“再等500年”才有伯樂出嗎？

此文剛寫完，還未修改校對(duì)，又發(fā)現(xiàn)一條信息：

?對(duì)于17世紀(jì)微積分創(chuàng)立時(shí)期出現(xiàn)的【導(dǎo)數(shù)】，在王文素16世紀(jì)收集之前，早已在民間普及使用。

如是真的，就證實(shí)了筆者的想法。導(dǎo)數(shù)的提出比王還要早！

補(bǔ)遺一

上文基本完成后，對(duì)王文素法，筆者又有些新的心得。就不費(fèi)心插入上文了，索性作為“補(bǔ)遺”單獨(dú)成篇（仍以最簡單的二次函數(shù)為例）。筆者的求導(dǎo)思路見圖1，王文素得到導(dǎo)數(shù)的途徑為圖2所示。圖1中筆者把曲線相關(guān)增量△x與作為直線的割、切線的相關(guān)增量△g等區(qū)別開來，是基于筆者提出的“新導(dǎo)數(shù)定義”。當(dāng)然，如果能夠嚴(yán)格分清曲線與割、切線的區(qū)別，作為自變量，曲線與直線當(dāng)然是可以共用的。因?yàn)榇藭r(shí)在新定義下，我們完全不必在增量比值函數(shù)△y/△x下討論問題，而就在增量函數(shù)△y = （2x + △x）?△x下討論即可。當(dāng)△x = 0或△x → 0時(shí)，此式有0 = （2x + 0）?0 = 2x?0 =k?0，k = 2x就是切線的斜率。它與切線的增量△x與△y 為不為0，趨不趨0沒有關(guān)系。因?yàn)樾甭适且粭l直線所固有的，是直線上任何兩個(gè)點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)差，不取決于特定的點(diǎn)。這也是美國紐約大學(xué)的Range的做法。當(dāng)然，Range是否充分認(rèn)識(shí)到了導(dǎo)數(shù)與曲線上的兩個(gè)點(diǎn)無關(guān)，而只與曲線的切線上的兩個(gè)點(diǎn)有關(guān)，導(dǎo)數(shù)就是切線本身的宏觀、傳統(tǒng)意義的斜率筆者還不是很清楚（資料有限）。通常一般以為，說導(dǎo)數(shù)是切線斜率，只是數(shù)值如此，它本質(zhì)上還是曲線本身的性質(zhì)。這當(dāng)然是錯(cuò)的，是產(chǎn)生貝克萊悖論的根本原因。馬克思曾經(jīng)寫道，0/0是有意義的，即0/0 = 2x = k。因?yàn)槔碛梢彩? =（2x + 0）?0 = 2x?0 =k?0是完全成立的。當(dāng)然，這種看法是走到了真相的門口，但還是沒有邁出最后一步。0/0還是不允許出現(xiàn)的，它不是像以往以為的那樣是“可以等于任何值”，而是如筆者論證的“不能等于任何值”（見筆者前期相關(guān)論文）。王文素得到導(dǎo)數(shù)（乙方）的思路，見圖2。他實(shí)際是把函數(shù)的增量△y = 2x?△x + △x2，不再看成線性函數(shù)（割線）△y = （2x + △x）?△x = k（x， △x）? △x，而是就看成曲線的增量△y = 2x?△x + △x2的線性部分2x?△x與非線性部分△x2的疊加。而不必取或令△x趨于0或等于0，而是直接取△y = 2x?△x + △x2的線性部分2x?△x 即可。當(dāng)然，細(xì)究起來，這個(gè)2x = k，是不是就是切線的斜率，還是要給出明確證明的。這個(gè)王文素沒有給出，他只是操作正確，而沒有深究幾何意義。但這并不影響他微積分第一人的地位，因?yàn)轱@然，牛頓、萊布尼茲公認(rèn)也是沒有正確理解導(dǎo)數(shù)的確切意義的。而其后百年的極限法微積分（所謂“第二代微積分”），同樣有問題（見筆者分析）。對(duì)2x是切線斜率的證明，一個(gè)是增量 △x可以取的任意地小甚至等于0，也就是△x = 0或△x → 0。另一個(gè)就是非線性部分△x2的前面的符號(hào)不能變。如果2x不是切線的斜率，就是割線的斜率，如此，當(dāng)△x → 0時(shí)，△x2前面的符號(hào)會(huì)改變。對(duì)應(yīng)的幾何意義就是該直線有時(shí)在曲線之下，有時(shí)又在曲線之上。同時(shí)，既然△x2前面的符號(hào)會(huì)改變，就說明在某一個(gè)點(diǎn)△x2 = 0而此時(shí)△x卻不等于0，這當(dāng)然是不成立的。因此，2x?△x只能是切線，不可能隨著△x的變小到一定地步但不等于0時(shí)，它成了割線的增量也即曲線的增量，而此時(shí)△x2 = 0。這是不可能的。此點(diǎn)讀者可自行驗(yàn)證之。而一經(jīng)證明，王文素法不但可用，而且極其簡單好理解。本質(zhì)上，圖1（筆者）與圖2（王文素）的兩種得到導(dǎo)數(shù)的方法，本質(zhì)上是一樣的。筆者、Range的方法，是把曲線的增量看成與其數(shù)值相等的割線的增量，也就是把一個(gè)二次曲線看成一次的直線，把非線性部分折合到直線方程的系數(shù)（斜率）k中。然后令其中的自變量△x → 0最后等于0，此時(shí)斜率k變化，意味著割線在以x點(diǎn)為軸旋轉(zhuǎn)，最終停止在切線位置。而王文素法（圖2）直接取曲線增量的線性部分，這與傳統(tǒng)上微分的定義完全一致。這里其實(shí)是把曲線函數(shù)的“線性主部”與自變量之比直接看成導(dǎo)數(shù)，其先后次序如此。而傳統(tǒng)微積分甚至筆者（包括Range）,是先得到導(dǎo)數(shù)（圖1），至于微分，在重新利用導(dǎo)數(shù)來定義。二者當(dāng)然都可以，只是先后次序不同，況且王文素法還有一個(gè)證明系數(shù)2x確實(shí)就是曲線x點(diǎn)的切線的斜率的問題（見前述）。但一旦給出了這個(gè)證明，就可以一勞永逸，直接采用王文素法，這個(gè)更為簡單、直接，好理解。而筆者的方法，雖然更為完備（等于給出了一個(gè)證明），但筆者在與其他一些人的討論中感到，很多人居然搞不清兩種不同的極限。他們一看到△x → 0，就說你這不是還是極限法嗎？他們看不到屬于割線、切線的△g是不等于0的，是完全可以與曲線相關(guān)的變量△x 不是一個(gè)變量的。而導(dǎo)數(shù)不是增量比△y/△x在△x → 0時(shí)的極限，而是△g ≠ 0時(shí)的△h/△g的比值。

應(yīng)該強(qiáng)調(diào)，王文素法需要給出證明，只是限于導(dǎo)數(shù)的幾何意義。比如割線、切線、曲線概念上的。而王文素只是針對(duì)高次方程的，是代數(shù)的，他顯然沒有義務(wù)（有當(dāng)然更好）去涉及導(dǎo)數(shù)（乙方）的幾何概念。他只要得到一次項(xiàng)的系數(shù)就可以了。并且直接把這個(gè)一次項(xiàng)的系數(shù)看成“乙方”，也就是導(dǎo)數(shù)即可。就算王文素沒有給出導(dǎo)數(shù)（乙方）十分清晰的全景圖像與定義，但一、二百年之后的牛頓、萊布尼茲甚至柯西等不是也沒有正確無誤地給出導(dǎo)數(shù)的定義嗎？因此，以此苛責(zé)王文素是無道理的。王文素的導(dǎo)數(shù)得到途徑，簡單的令人拍案叫絕，只要我們在導(dǎo)數(shù)的新定義下去理解、證明、詮釋就可以了。一旦給出筆者實(shí)際完成的證明（以求法來體現(xiàn)的）與詮釋，王文素法是最直接了當(dāng)?shù)?，最簡單自然的，最不容易與傳統(tǒng)微積分極限法混淆的。想筆者在與人的討論中，比如科學(xué)網(wǎng)文清慧博客中的“薛問天”先生，總搞不清筆者的意思，說你的所謂不需要極限的求導(dǎo)，不是還要取極限嗎（其實(shí)不需要的只是非平凡極限，一般意義的極限當(dāng)然可以有，很多人搞不清二者的區(qū)別）？說我是誤導(dǎo)云云。但王文素的方法簡單的多，且更好理解。還與整個(gè)微分理論合拍，甚至就是微分定義的自然推論。至此，無論筆者的新定義的導(dǎo)數(shù)還是王文素的“乙方”，實(shí)際都是名正言順的“微商”，也就是是一個(gè)地道的、真正的有分母的“比式”。極限法微積分的那種不得不把dy/dx革出教門或直接看成一個(gè)不可分割的整體的謬論，可以休矣。讓我們堂堂正正的而不是偷偷摸摸地回到牛頓、萊布尼茲的做法中去（當(dāng)然詮釋不同），而徹底拋棄極限法（正確說是非平凡極限法或非合理極限法）的種種誤人子弟、矛盾百出、強(qiáng)詞奪理意味甚濃的、馬克思所說的“昏話”吧！

考慮筆者對(duì)導(dǎo)數(shù)或瞬時(shí)速度的新定義和王文素的具體做法，歷史上的貝克萊悖論可以有一個(gè)雙重消除的問題。第一，在筆者“新定義”下，求導(dǎo)根本就不必拘泥于增量比值函數(shù)（分母上是自變量且其趨于0的的非平凡比值函數(shù)），直接針對(duì)增量函數(shù)就可以求出或得到導(dǎo)數(shù)（當(dāng)然，針對(duì)增量比值函數(shù)也是可以的。見筆者前期文章）。于是，沒有了分母，具體說就是沒有了是自變量的分母，當(dāng)然也就不會(huì)再有分母為0不為0的問題，貝克萊悖論自消。第二，按王文素的做法，它同樣也沒有針對(duì)增量比值函數(shù)，只是針對(duì)的增量函數(shù)得到的導(dǎo)數(shù)（乙方），但同時(shí)，值得注意的是（前文其實(shí)已經(jīng)討論過了），王文素針對(duì)的不是作為線性方程形式的

△y = （2x + △x）?△x = k（x， △x）? △x，而是曲線增量形式的

△y = 2x?△x + △x2，二者當(dāng)然本質(zhì)是一致的，只是一個(gè)括號(hào)里的各項(xiàng)乘不乘出來的問題。不乘出來，就是作為線性（直線）方程的系數(shù)k，而乘出來，就可以看成曲線方程的增量的一次項(xiàng)的線性部分與高次項(xiàng)的非線性部分的疊加，具體說就是 2x?△x + △x2，左邊的一項(xiàng)是一次項(xiàng)，為線性部分無疑。右邊是二次項(xiàng)的非線性部分（見圖2）。注意，這里王文素并沒有強(qiáng)行令△x進(jìn)而△x2等于0或是趨于0，而是“只取”該疊加式2x?△x + △x2的一次的線性項(xiàng)2x?△x中的系數(shù)也就是斜率的2x，如此而已！盡管從幾何意義上講，我們需要一個(gè)深層次的證明，證明這個(gè)2x就是切線的斜率，而不是另一個(gè)割線的斜率。但這當(dāng)然只是就其幾何圖像的意義而言的。人家王文素并沒有考慮幾何上的東西，而只是考慮實(shí)際上同構(gòu)的高次方程的代數(shù)問題，人家考慮的就是△x（在附錄中公式3中就是“k”）可以是任何數(shù)值時(shí)的問題，換言之，可以無限小下去都成立的問題，對(duì)應(yīng)于幾何上，就是切線及其斜率的問題。只不過王文素沒有明說、點(diǎn)透罷了。實(shí)際上，對(duì)王文素而言，這里的一次項(xiàng)（線性部分）始終（指無論△x 或附錄公式3中的“k”有多大或多?。┦且淮蔚摹⒕€性的，而不是這個(gè)線性（一次）部分內(nèi)部又有一個(gè)非線性（高次）部分。幾何上，就是這個(gè)直線的一部分還是一個(gè)割線。既然排除了這種情況，幾何上，當(dāng)然就只能是一個(gè)切線了。

事實(shí)上，就算對(duì)△y = （2x + △x）?△x = k（x， △x）? △x這個(gè)線性形態(tài)的式子，我們其實(shí)當(dāng)然仍舊可以把2x + △x = k中的2x看成線性項(xiàng)，而其中的自變量△x看成非線性項(xiàng)，因?yàn)檫€要考慮括號(hào)外乘上的那個(gè)因子△x。如此，就是針對(duì)此式（其實(shí)與△y = 2x?△x + △x2當(dāng)然是完全等價(jià)的），也完全可以取王文素的做法，徑直只取其中的作為線性方程的切線方程的系數(shù)2x，而根本就不用去管無論括號(hào)外語括號(hào)內(nèi)的△x等不等于0或是等于什么：等于0，就是圖1的情況；不等于0，就是圖2（也就是王文素做法）的情況。在這個(gè)觀點(diǎn)或認(rèn)識(shí)下，我們就可以十分清晰地看出，西方（有別于王文素）傳統(tǒng)微積分 （無論是牛頓、萊布尼茲還是柯西、外爾斯特拉斯等）在詮釋上可以說是“雙重之誤”（對(duì)比前面的所謂貝克萊悖論的“雙重消除”）。第一，沒有直接采用完全可行的增量函數(shù)△y，而是非要不必要地采用分母為自變量的非平凡增量比值函數(shù)△y/△x；第二，沒有如王文素或圖2那樣直接取線性部分的斜率（系數(shù)），而是非要令自變量 △x等于0（牛頓、萊布尼茲等）或趨于0（柯西、外爾斯特拉斯等）。第三，實(shí)際求導(dǎo)過程中很隨意地使用了約分消分母上的自變量這一步，但又沒有充分理解其意義。正是這三點(diǎn)一疊加，必然要產(chǎn)生貝克萊悖論。當(dāng)然，他們之所以非要如此做，是與其對(duì)導(dǎo)數(shù)、瞬時(shí)速度等概念的理解或詮釋（也就是定義）直接相關(guān)的。在他們及其后普遍的認(rèn)識(shí)有誤的導(dǎo)數(shù)（瞬時(shí)速度）定義或概念下，才會(huì)有這樣的問題，也就是貝克萊問題。

前面已經(jīng)說了，王文素對(duì)導(dǎo)數(shù)（乙方）的幾何（包括物理）意義沒有涉及，當(dāng)然就不會(huì)對(duì)導(dǎo)數(shù)就是曲線的切線斜率給出證明。但這并不能抹殺王文素給出了導(dǎo)數(shù)（乙方）這一事實(shí)。首先，導(dǎo)數(shù)的圖像，并不限于幾何圖像，其物理、代數(shù)圖像同樣甚至更加重要。就是牛頓，其實(shí)也只關(guān)心導(dǎo)數(shù)的物理圖像也就是瞬時(shí)速度問題，對(duì)其幾何概念究竟知道或關(guān)心、涉及了多少，我手頭并沒有相關(guān)資料。很可能他也像王文素一樣，對(duì)此沒有涉及（后來看到萊布尼茲的幾何意義的導(dǎo)數(shù)才有所認(rèn)識(shí)則是另一回事）。而萊布尼茲，是直接基于導(dǎo)數(shù)的幾何意義來展開其微積分工作的，他本人一開始對(duì)導(dǎo)數(shù)的物理意義究竟有沒有認(rèn)識(shí)或認(rèn)識(shí)的程度，同樣我不清楚。很可能，他們二人各自也只是抱住了導(dǎo)數(shù)這個(gè)大象的不同的腿。如此，我們怎么獨(dú)獨(dú)苛責(zé)于王文素呢？更何況王文素雖然沒有明確地指出來，但他的增量（附錄公式3中的“k”）顯然是可以等于任意值的，這當(dāng)然包括可以無限地小下去，而這無形中就是一個(gè)陳述或證明了，起碼是一個(gè)“潛在的”、“不言自明的”、“無需證明的”證明。因?yàn)橥跷乃氐摹皾撆_(tái)詞”實(shí)際是增量可以是任意值。這與圖2中的切線等效。而圖2的幾何圖像之所以應(yīng)該有個(gè)嚴(yán)格的證明，不過是在圖2中，我們用靜態(tài)的圖形去表達(dá)自變量△x的可以是任何值，也就是可以△x → 0或等于0這一點(diǎn)。由此，才需要單獨(dú)地給出△x → 0，也就是實(shí)際算證明了△x → 0結(jié)論也成立。如果對(duì)圖2給以限制條件“自變量△x可以等于任意值”（一如王文素的“潛臺(tái)詞”。而不僅僅說“有一個(gè)△x ”，而說“對(duì)任意的△x”），那就實(shí)際等于存在了△x → 0，于是其實(shí)也就無需單獨(dú)在證明△x → 0圖2情況也成立這回事了。只需指出或“證明“對(duì)任意的△x”與“△x → 0”等價(jià)”就可以了。總之，只有在幾何意義上，才有切線這種“派生”出的概念需要給以一定的證明，而作為代數(shù)意義而言，非特定自變量的“一次項(xiàng)”就足矣了。因此，王文素未涉及幾何以及其中的斜率、切線、割線、曲線等概念，并不等于他有什么錯(cuò)，充其量也不過是王文素沒有對(duì)導(dǎo)數(shù)“窺其全豹”而已。但前面已經(jīng)說了，牛頓、萊布尼茲、柯西等也一樣，甚至更甚。因?yàn)樗麄兊脑忈尭纱嗑褪清e(cuò)的。

簡而言之，要而言之，傳統(tǒng)微積分（包括牛、萊、柯、外等等）認(rèn)為只能對(duì)分母上是自變量的增量比值函數(shù)同時(shí)令自變量趨于0來求導(dǎo)。筆者（也許還包括美國的Range）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的新定義指出不必，可以直接針對(duì)沒有什么分母（自然也就沒有分母上的自變量了）的增量函數(shù)來求導(dǎo)。其中割、切線的自變量的增量可以不為0，但曲線的增量△x → 0或等于0。對(duì)幾何意義的圖1，這點(diǎn)是必須的一個(gè)證明或求導(dǎo)步驟（二者如何看都可以。“證明”只要一次即可，而“求導(dǎo)步驟”每次來一遍，啰嗦，重復(fù)，但亦無不可）。而500年前的王文素，針對(duì)高次方程冪函數(shù)，既不要求有分母，也不要求自變量趨于0或等于0，而是直接可以“取”函數(shù)增量的“線性部分的系數(shù)”（也就是一次項(xiàng)的系數(shù)）即可。如圖2所示。他實(shí)際上等于宣示，一個(gè)“量”不是只有等于0才可以不要或無視。實(shí)際上不等于0我們也可以不要它、不去“取”它或不考慮它。它在那里，既沒有為0，也沒有消失，也不是所謂無足輕重地小，而僅僅是我們現(xiàn)在考慮、討論的并不是它，或還沒有輪到它。如此而已。王文素做法的這個(gè)實(shí)質(zhì)，是他的缺點(diǎn)（對(duì)導(dǎo)數(shù)圖像的全貌的缺失，即沒有考慮幾何圖像），也是他的優(yōu)點(diǎn)（代數(shù)基礎(chǔ)的高次方程中不需要考慮切線及其唯一性等問題），對(duì)導(dǎo)數(shù)（乙方）而言，代數(shù)方程下只考慮一次項(xiàng)就夠了。

總之，不一定非要是0才可以不考慮，不是0也可以不考慮。王文素?zé)o意中告訴了我們這個(gè)。為0當(dāng)然可以不去考慮了，但這并不意味著不是0就一定要考慮。具體到微積分求導(dǎo)，不是非要△x → 0或等于0才可以不考慮它，而是△x不等于或不趨于0也可以不考慮它。因?yàn)槲覀兇藭r(shí)討論的問題不需要它。就這么簡單。

在強(qiáng)調(diào)一遍：王文素法當(dāng)然對(duì)導(dǎo)數(shù)的全貌而言，不太全貌，它沒有涉及幾何概念、物理的瞬時(shí)速度概念等具體方面。但是，它在概念上完全無錯(cuò)，完全正確。它作為一種數(shù)學(xué)的抽象概念，完全可以涵蓋上面兩種具體概念。而其140年后的西方傳統(tǒng)微積分（包括牛、萊所謂的“第一代”，更包括柯西等的“第二代”）涉及的概念更多，應(yīng)用更多，但在基本概念上、定義層次上，反而出現(xiàn)問題（貝克萊悖論），實(shí)質(zhì)上是錯(cuò)的、有矛盾（貝克萊悖論）的。況且說其涉及的領(lǐng)域全面，也是很多人共同完成的，單就個(gè)人而言，比如牛頓，比如萊布尼茲，也不見得比王文素全面多少（待考）。那么既然如此，憑什么微積分發(fā)明人的桂冠可以扣牛、萊二人的外國腦袋上，就不能給早他們140年的王文素戴上呢？

還有一個(gè)問題，就是積分問題。有人也許會(huì)說，王文素沒有涉及積分問題，所以不是一個(gè)完整的的微積分。但是，作為定積分而言，原函數(shù)的增量△y = f（x + △x） - f（x），其實(shí)就等于這個(gè)增量的線性部分與非線性部分的疊加。比如對(duì)二次函數(shù)而言，其原函數(shù)的增量△y = f（x + △x） - f（x）= （x + △x）2 - x2，其實(shí)不就等于把這個(gè)式子展開后的2x?△x + △x2 嗎？所以是一回事。而后者就是原函數(shù)的增量的線性部分2x?△x與其非線性部分△x2 的疊加。而自變量△x，就是普通的宏觀量，無須什么無窮小或趨于0之類的概念，這與筆者的微分定義或?qū)嶋H上教科書中的微分定義是完全一致的。只不過教科書中的極限法微積分中，定義是一回事（不敢定義成什么無窮小或趨0極限了。無窮小，為極限法所拋棄或反對(duì)；趨0極限，此時(shí)只能等于0！對(duì)0積分成什么？哪怕是無窮多個(gè)0相加，不也還是0？），實(shí)際所做的，最終還是要令這個(gè)先不為0的自變量去趨于0（對(duì)應(yīng)于小區(qū)間數(shù)的趨于無窮多）。極限法微積分它還不敢說趨于無窮小ε。為什么？極限法微積分是干什么的？不就是去排除牛頓特別是萊布尼茲等的第一代微積分中會(huì)產(chǎn)生貝克萊悖論的無窮小的嗎？這里居然又出現(xiàn)了無窮小，還像話嗎？一邊吃著人家的包子一邊說不好吃？因此，王文素之所以沒有提積分問題（也許），但這不是他不會(huì)，而是根本就無必要。積分在筆者導(dǎo)數(shù)新定義下，也就是王文素的思路、做法下，很簡單：在筆者導(dǎo)數(shù)的第一定義下（見前期文章，此不贅述），積分，就是宏觀意義的微分加上其非線性部分；而微分，就是宏觀意義的增量減去其非線性部分（只剩其線性部分）。而在筆者的導(dǎo)數(shù)第二定義下（見前期文章），積分，就是大些的微分；而微分，就是小些的積分。二者根本就沒有什么本質(zhì)區(qū)別。既然積分是大些的微分，那么，一些微分的疊加自然就是其積分。這就恢復(fù)了積分的可加性，直觀而通俗。完全沒有什么趨0的小區(qū)間，趨于無窮多的小區(qū)間數(shù)之類的繁瑣而錯(cuò)誤的概念再來迷惑廣大學(xué)子了！王文素也許沒有詳細(xì)涉及這個(gè)問題，但如果沿著他的思路，只能是這個(gè)結(jié)果。它是如此地簡單明確，實(shí)際根本就不值得單獨(dú)表述。因?yàn)檎蜻\(yùn)算既然提出來了，反向運(yùn)算不是順理成章的事嗎？還用多啰嗦嗎？就像我們既然知道某量a是b與c之和了，自然也就有a了。而知道了a，又知道了有函數(shù)關(guān)系c + b = a，我們自然也就知道或恢復(fù)了a。這里面沒有任何稀奇的。

而與此有關(guān)的“新微積分基本定理”，實(shí)際可以變得十分簡單：既然導(dǎo)數(shù)2x為由原函數(shù)的增量△y = f（x + △x） - f（x）= （x + △x）2 - x2 = 2x?△x + △x2 舍棄△x2 得之，那么如果已知導(dǎo)函數(shù)2x，其線性部分就是2x?△x，只要加上原本舍棄的非線性部分△x2 ，就可以得到其原函數(shù)的增量f（x + △x） - f（x）= （x + △x）2 - x2 = 2x?△x + △x2 了。這不就是微積分基本定理所描述的事實(shí)嗎？而這個(gè)詮釋，比傳統(tǒng)微積分基本定理的詮釋要簡單、直觀的多。它完全沒有了傳統(tǒng)微積分在積分時(shí)的內(nèi)在矛盾之處（指小區(qū)間趨于0到底是不是0的問題）。

同時(shí)，傳統(tǒng)微積分是先求導(dǎo)，再定義微分（線性主部），而王文素的做法如果用幾何范疇來表述的話，等于是先有了線性主部（微分），再定義其所屬直線（切線）的斜率為導(dǎo)數(shù)。因此更為直接、協(xié)調(diào)、自然。事實(shí)上，很多教科書中，最終還是定義了微分dy = f’(x)?dx后，再把dx除到等式左邊，得到dy/dx = f’(x)的。這里的dy/dx，按極限法的詮釋，并不是真正意義的導(dǎo)數(shù)，只是其“數(shù)值”等于導(dǎo)數(shù)。因?yàn)閷?dǎo)數(shù)在極限法下并不是一個(gè)比式，而這里的dy/dx的得到途徑（是等式右邊除過來的），它不得不是一個(gè)比式。而等式右邊的f’(x)當(dāng)然是一個(gè)導(dǎo)數(shù)。于是我們看到，這里的宏觀意義的比式dy/dx 只是數(shù)值上與導(dǎo)數(shù)等值而已。這是一個(gè)十分別扭的詮釋或結(jié)論。因?yàn)槭聦?shí)上，傳統(tǒng)微積分在這里其實(shí)是得到了真正意義的導(dǎo)數(shù)的，在筆者的詮釋與王文素的做法下，其實(shí)這個(gè)步驟或次序，才應(yīng)該是真正意義的導(dǎo)數(shù)的本原。導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)宏觀意義的比式，這才更直接、協(xié)調(diào)、自然。

而不是如傳統(tǒng)微積分那樣，扭扭捏捏地對(duì)明明是一個(gè)比式的導(dǎo)數(shù)，卻不或不能承認(rèn)它是比式。

最后，很本質(zhì)的是，傳統(tǒng)微積分無論是在（2x + △x）?△x/△x還是在2x + △x下，都是認(rèn)為令△x → 0時(shí)“求出”了導(dǎo)數(shù)。但是實(shí)際上，正如筆者分析的，傳統(tǒng)微積分無論△x = 0還是△x → 0，都沒有無矛盾地解釋清貝克萊悖論之所以產(chǎn)生的原因。而且即使是筆者，為了詮釋傳統(tǒng)微積分究竟為何如馬克思所說的“從明顯錯(cuò)誤的前提出發(fā)得到完全正確的導(dǎo)數(shù)值”的，有意無意地也采取了這種思路（半是為了詮釋傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)的真實(shí)含義，半是囿于傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)的窠臼），只不過在筆者這里，針對(duì)的可以是無分母上為自變量的增量函數(shù)，因此△x → 0與△x = 0是一致的。而按王文素得到導(dǎo)數(shù)（乙方）的做法的思路，他實(shí)際上直接針對(duì)的是△y = f（x + △x） - f（x）= （x + △x）2 - x2 = 2x?△x + △x2 ，只需分析、理解已經(jīng)出現(xiàn)在（不是什么“求出”的?。┕街械?x?△x項(xiàng)以及其中的2x代表什么意思就可以了，根本就不必考慮什么△x → 0與△x = 0的問題和過程。實(shí)質(zhì)上，就是指出公式中2x?△x進(jìn)而2x代表什么意思就可以了。既然2x已經(jīng)出現(xiàn)在了公式中了，還“求”什么？我們只需理解、解釋其含義就足矣了。這可以說是迄今為止最為簡略的“得到”（我這里故意不說“求出”。其意不言自明）導(dǎo)數(shù)（王文素的“乙方”）的方法。當(dāng)然也可以這么說：所謂的“求導(dǎo)”或“求導(dǎo)過程”，實(shí)際就是解釋早已出現(xiàn)在增量函數(shù)△y中的2x（對(duì)二次函數(shù)這類例子。其它類推）就可以了。這個(gè)2x與其說是“求出”的，還不如說是“羅列”出的。需要的只是一個(gè)解釋，也就是它代表的究竟是個(gè)什么意思（答案其實(shí)就是線性部分的系數(shù)或斜率。也就是在筆者提出的新導(dǎo)數(shù)定義下，理解其意是很容易的。）。完全沒有必要再令公式中的△x → 0或△x = 0，盡管在正確的詮釋下，如此“操作”當(dāng)然也是可以的，只不過對(duì)有些（甚至不少）人而言，它容易與傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)相混淆罷了。

不禁感慨，500年前的王文素真真是令人無比贊嘆地拍案叫絕！他的實(shí)際運(yùn)用的這些觀念，其140年后的牛頓、萊布尼茲，200多年后的柯西、外爾斯特拉斯等，以至500多年后的還健在的袞袞諸公，何能望其項(xiàng)背乎？

補(bǔ)遺二

對(duì)極限本身及微積分求導(dǎo)過程中的極限常見的理解上的誤區(qū)

筆者在與其他人討論的過程中發(fā)現(xiàn)，對(duì)極限及微積分求導(dǎo)需要的極限的理解上，廣泛存在著很大的誤區(qū)。其中包括一些所謂的“專業(yè)人士”。比如

1、極限不是一個(gè)值，而是一個(gè)過程，實(shí)際到不了極限點(diǎn)。

辯誤：極限就是一個(gè)值，就是極限點(diǎn)的值。求極限就是求的這個(gè)值，而不是過程。無論這個(gè)過程可不可以到這個(gè)極限點(diǎn)。

2、極限只是一個(gè)近似值，所有現(xiàn)有極限法微積分的導(dǎo)數(shù)定義公式，都應(yīng)該把等式“=”改為約等號(hào)“≈”。

辯誤：既然如此，為什么還如此費(fèi)勁地舍棄所謂“高階無窮小”去求這個(gè)不精確的、“約等于”的值？保留這個(gè)無窮小以得到精確值不是更好？公式稍微復(fù)雜些，但數(shù)學(xué)中復(fù)雜的公式還少嗎？

3、誤把極限法微積中的極限（實(shí)質(zhì)是“非平凡極限”），當(dāng)成了一般意義的極限。似乎反對(duì)“極限法微積分”，就是反對(duì)一切極限概念似的。

辯誤：“極限法微積分”的極限，實(shí)際是筆者提出的“非平凡極限”（還是比較委婉的說法）、“非正常極限”或干脆稱之為“反常極限”、“錯(cuò)誤的極限”（這才是實(shí)質(zhì)說法）。具體說，就是第一，是一個(gè)比式。第二，這個(gè)比式的分母為自變量。第三，這個(gè)比式的處于分母上的自變量要趨于0。這能說是一般意義的極限嗎？通常普遍認(rèn)為，這種極限之所以需要，是因?yàn)榕ｎD等的第一代微積分會(huì)在0點(diǎn)產(chǎn)生增量比值函數(shù)的函數(shù)值為無意義的0/0的問題，也就是貝克萊悖論問題。這是公認(rèn)的，否則如果沒有問題，還需要柯西的極限法的所謂第二代微積分嗎？既然函數(shù)值在0點(diǎn)為無意義的0/0，那么，按非平凡極限法求導(dǎo)的做法，就認(rèn)為函數(shù)的定義域不包括0點(diǎn)，把0點(diǎn)“革出函數(shù)的教門”，宣布其為非法。如此，既然定義域不包括0點(diǎn)了，也就是分母不為0了，于是就可以堂而皇之地通過約分或除法先消去這個(gè)處于分母位置的自變量（通常以符號(hào)△x 表示之），然后再令這個(gè)已經(jīng)沒有了分母的函數(shù)（其實(shí)已經(jīng)是另一個(gè)完全不同的函數(shù)了）去趨于0（實(shí)際完全可以等于0。這也間接說明有無分母上的自變量的兩個(gè)函數(shù)是不一樣的。一個(gè)可以在0點(diǎn)有定義，一個(gè)沒有定義），并聲稱如此得到的0點(diǎn)的這個(gè)已經(jīng)沒有分母上的自變量△x的增量函數(shù)的極限值（其在0點(diǎn)無定義，就是不可達(dá)極限；其在0點(diǎn)有定義，就是可達(dá)極限。反正極限值都一樣），就是原先分母為自變量的增量比值函數(shù)在0點(diǎn)的不可達(dá)極限值。此論幾乎就是整個(gè)數(shù)學(xué)界的通論（見柯朗?數(shù)學(xué)是什么?）。但是，令函數(shù)在0點(diǎn)無定義（定義域不包括0點(diǎn)），并不意味著自然地就在0點(diǎn)可以有不可達(dá)極限值！二者不等價(jià)。在0點(diǎn)沒有函數(shù)值，同樣也可以在0點(diǎn)沒有極限值！所謂求在沒有函數(shù)值的0點(diǎn)的極限值的前提，是在該點(diǎn)可以、允許或本來就存在有這個(gè)極限。難道不是嗎？該點(diǎn)如果原本也沒有這個(gè)極限，求出的必然就不是它的極限。極限法微積分求導(dǎo)之誤，就誤在簡單地認(rèn)為在0點(diǎn)只是唯一地不存在有意義的增量比值函數(shù)△y/△x的函數(shù)值，而在該點(diǎn)增量比值函數(shù)的極限值是存在的。這是整個(gè)極限法微積分求導(dǎo)的一個(gè)隱含的、但卻是實(shí)實(shí)在在的假設(shè)、前提。既然在0點(diǎn)存在非0/0型的極限不過是一個(gè)假設(shè)、前提，經(jīng)常被業(yè)內(nèi)人士號(hào)稱為最為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)是不是應(yīng)該給出一個(gè)證明？但是，這個(gè)證明給的出來嗎？本來是在0點(diǎn)有非0/0型的極限（或極限不為0/0），才可以通過約分或除法消去增量比值函數(shù)分母上的自變量△x再去求趨0極限的，但現(xiàn)在卻是先通過約分或除法消去了增量比值函數(shù)△y/△x分母上的那個(gè)自變量△x，就認(rèn)為是或證明了如此求得的趨0極限，就是原先沒有消去分母的增量比值函數(shù)在0點(diǎn)的趨0極限值，這是不是因果倒置的邏輯問題？誰敢說不是，請指出我這里推理的邏輯問題再說。

這里可以舉一個(gè)形象化的比喻：水在100度要沸騰（對(duì)應(yīng)于我們討論的微積分導(dǎo)數(shù)問題的增量比值函數(shù)在0點(diǎn)的函數(shù)值為0/0）。無論“函數(shù)值”（現(xiàn)實(shí)中）還是作為“極限值”，它都是沸騰的。但如果有人說，水在不到100度前，沒有沸騰，所以不考慮100度這一“點(diǎn)”，即“定義域”不包括該點(diǎn)。于是，在其它所有溫度點(diǎn)，水都不會(huì)沸騰。于是，有人說水在100度的極限，就是不沸騰（對(duì)應(yīng)于我們討論的微積分問題的0/0）。這種說辭，成立嗎？這不是與微積分求導(dǎo)問題我前面說的“曲線救導(dǎo)”一樣的“曲線救沸”??？這是邏輯上典型的“偷換概念”錯(cuò)誤。微積分求導(dǎo)問題的極限法其實(shí)也一樣。至于具體分析其中的邏輯錯(cuò)誤，經(jīng)過筆者的分析、點(diǎn)出后，不過就是一道初級(jí)的邏輯習(xí)題而已。讀者請自行分析辨識(shí)?？傊?，極限法微積分求導(dǎo)的邏輯問題，起碼涉及兩個(gè)邏輯錯(cuò)誤，一個(gè)是“偷換概念”，一個(gè)是“以因?yàn)楣?。還隱蔽地有一個(gè)“循環(huán)論證”。甚至這里需要一個(gè)論證，都沒有被意識(shí)到。而一旦意識(shí)到，則必然涉及循環(huán)論證。

4、傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)過程（無論牛頓、萊布尼茲的“第一代”還是柯西、外爾斯特拉斯的“第二代”）中，都必須先通過約分消去分母上的自變量△x才可以進(jìn)行下去。但對(duì)約分的實(shí)質(zhì)意義究竟是什么，居然這么多年沒有人注意到。試問，在任何一個(gè)公式中，除了數(shù)字“1”，什么可以刪去不要？沒有任何數(shù)字可以不要。于是，所謂消去分母上的自變量△x，只有使其等于“1”，也就是比式中的△x/△x = 1/1 = 1才行。于是顯然，經(jīng)過所謂的“約分”，先要有比式中有了“1/1”后才可以再消去它。但是，傳統(tǒng)微積分可是對(duì)分母是自變量△x的一個(gè)“非平凡比式”求其自變量△x → 0時(shí)的極限的，這是其定義。而約分后的得到的1/1，等于在△x → 0之前就令△x/△x = 1/1 了，此時(shí)分母上的那個(gè)自變量△x等于了什么？當(dāng)然是“1”。趨于了什么？當(dāng)然也是“1”。如此，還有什么△y/△x的△x → 0這回事嗎？運(yùn)算次序的孰先孰后，不用說專搞數(shù)學(xué)的專家應(yīng)該能清楚，就是一般的大、中學(xué)生，也應(yīng)該能明白吧。既然在實(shí)際操作過程中增量比式中的△x/△x = 1/1了，而該比式中剩下的其它△x → 0了，那么，這些△x 還是同一個(gè)變量嗎？當(dāng)然不是了。這是無論牛頓、萊布尼茲還是柯西、外爾斯特拉斯只要在運(yùn)算中實(shí)施了約分的實(shí)際結(jié)果。而比式中的曲線的自變量△x不是同一個(gè)變量了，這使得整個(gè)公式的次數(shù)改變了，實(shí)際高次方程（曲線）變成了一次方程（直線。見筆者有關(guān)論述），比如，△x2/△x是個(gè)二次曲線的比值方程，而△x?△g/△g就是一個(gè)切線方程。這就是導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)了，而貝克萊悖論不再存在，因?yàn)樵凇鱴 → 0時(shí)，處于分母上的△g ≠ 0。

筆者一再地說了這么多，無非是強(qiáng)調(diào)500年前的王文素根本不涉及極限、無窮小等概念而得到導(dǎo)數(shù)值，才是微積分導(dǎo)數(shù)的“正朔”，理應(yīng)得到充分的肯定。而其500年后筆者的系列工作，是撥亂反正，返璞歸真，與王文素法是相得益彰的。

有人以王文素得到導(dǎo)數(shù)（乙方）時(shí)沒有涉及極限與無窮小概念而認(rèn)為王文素沒有得到真正的微積分真諦，只是無意中“撞上了”微積分的結(jié)論，或只是來到了微積分的大門口而未入其中。似乎是“瞎貓碰到個(gè)死耗子”似的。此議大謬不然。實(shí)際上，由筆者前面的分析可以知道了，王文素沒有提到極限或無窮小不但不是他的缺點(diǎn)，反而是他遠(yuǎn)勝西方傳統(tǒng)微積分大優(yōu)點(diǎn)。因?yàn)槭聦?shí)上他才是對(duì)的。他的做法，完全符合筆者提出的“新導(dǎo)數(shù)定義”和“增量分析”。微積分本來就不應(yīng)該涉及無窮小或極限，而只涉及增量。王文素遠(yuǎn)遠(yuǎn)走在西方微積分先驅(qū)們的前面了！因此，我們必須給王文素一個(gè)交代，盡管是遲到500年的一個(gè)交代也罷！

附錄：王文素真的在《算學(xué)寶鑒》中提出了導(dǎo)數(shù)的概念并將其用于求解高次方程嗎？

網(wǎng)友scarse，2021年6月21日，人文歷史

注意，各頁之間有重疊。

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發(fā)布于 2022-05-08 17:55