2023年高考數(shù)學(xué)新一卷壓軸題22題第二問另證

2023-06-10 21:33 作者:bibo888 0人讀過 | 我要投稿

2023年高考新一卷壓軸題22題的第二問網(wǎng)上的解法已經(jīng)很多了，這里提供另外的一種證明方法。

問題

設(shè)矩形 $ABCD$ 有三點(diǎn)在拋物線 $y%3Dx%5E2%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D$ 上,求證矩形 $ABCD$ 周長大于 $3%5Csqrt%7B3%7D$ 。

解析

這個問題，最直接的想法就是使用弦長公式進(jìn)行求解。本來打算做成視頻的，但是看到已經(jīng)很多人出了視頻解析，然后就寫個專欄。

首先，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)拋物線后面的尾巴令人討厭，事實(shí)上，去掉不影響問題的解答。

第二，我們不妨設(shè) $A%2CB%2CC$ 在拋物線上，并且 $AB%20%5Cperp%20BC$ ,這樣可以利用弦長公式，求解，這是一般的做法，這里就不詳細(xì)說了。

重點(diǎn)我們要說的是另一種解法，我們注意到不存在 $AB$ 或 $BC$ 斜率不存在的情況。這樣由于 $AB%20%5Cperp%20BC$ ，因此 $AB$ 與 $BC$ 的斜率的絕對值至少又一個小于或等于1。

如圖所示，我們不妨設(shè) $AB$ 的斜率的絕對值小于或等于 $1$ ，過 $C$ 點(diǎn)做 $x$ 軸的垂線交直線 $AB$ 于點(diǎn) $E$ E。直線 $AB$ 交 $x$ 軸于 $F$ 點(diǎn)。

顯然，由于 $AB$ 的斜率的絕對值小于或等于 $1$ ，因此

$%5Cangle%20BCE%20%3D%20%5Cangle%20AFO%20%5Cle%2045%5E%5Ccirc$

這里巧妙的是，無論 $AB$ 的斜率是正是負(fù)，以上式子均成立。

在 $Rt%5Ctriangle%20BCE$ 中，由大角對大邊，我們可以得到

$%7CBC%7C%20%5Cge%20%7CBE%7C$

因此有

$%7CAB%7C%2B%7CBC%7C%5Cge%20%7CAB%7C%2B%7CBE%7C%5Cge%20%7CAE%7C$

這里要注意的是這里有一種可能點(diǎn) $E$ 落在線段 $AB$ 上。此時上面的式子依然成立。

注意到取等號的一個必要條件是 $AB$ 的斜率的絕對值等于 $1$ 。

這里由設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為 $(a%2Ca%5E2)$ ,B點(diǎn)的坐標(biāo)為 $(b%2Cb%5E2)$ ,C點(diǎn)的坐標(biāo)為 $(c%2Cc%5E2)%0A$ , $AB$ 的斜率為 $k$

容易得到如下等式成立

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%7CAE%7C%26%3D%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%7Ca-c%7C%5C%5C%0A%26%3D%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%7C(a%2Bb)-(b%2Bc)%7C%5C%5C%0A%26%3D%5Csqrt%7B1%2Bk%5E2%7D%5Cleft%7Ck%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bk%7D%5Cright%7C%5C%5C%0A%26%3D%5Cdfrac%7B(1%2Bk%5E2)%5E%7B3%20%5Cover%202%7D%20%7D%7B%7Ck%7C%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D$

接下來，我們使用均值不等式即可解決這個問題

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%7CAE%7C%26%3D%5Cdfrac%7B(%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%2Bk%5E2)%5E%7B3%20%5Cover%202%7D%20%7D%7B%7Ck%7C%7D%5C%5C%0A%26%5Cge%20%5Cdfrac%7B%20%5Csqrt%7B3%5E3%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Ccdot%20k%5E2%20%20%7D%20%20%7D%7B%7Ck%7C%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cdfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%20%7D%20%7B2%7D%0A%5Cend%7Baligned%7D$