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2022IMO幾何題，我也會做？

2023-04-29 09:21 作者:奧博格沙特 0人讀過 | 我要投稿

2022IMO Problem 1.4.

令 $ABCDE$ 為一凸五邊形滿足 $BC%3DDE%2C%5C%20$ 假設在 $ABCDE$ 內部存在一點 $T$ 使得 $TB%3DTD%2C%5C%20TC%3DTE$ 且 $%E2%88%A0ABT%3D%E2%88%A0TEA.%5C%20$ 令直線 $AB$ 分別與直線 $CD$ 和 $CT$ 交于點 $P$ 和 $Q$ ，假設 $P%2CB%2CA%2CQ$ 在同一直線上按照此順序排列。令直線 $AE$ 分別與直線 $CD$ 和 $DT$ 交于點 $R$ 和 $S$ ，假設 $R%2CE%2CA%2CS$ 在同一直線上按照此順序排列。證明 $P%2CS%2CQ%2CR$ 落在同一個圓上。

證明

由條件易知 $%E2%96%B3TBC%5C%20%E2%89%8C%5C%20%E2%96%B3TDE$

$%5Cimplies%20%E2%88%A0BTC%3D%E2%88%A0ETD$

$%5Cimplies%20%E2%88%A0BTQ%3D%E2%88%A0ETS$

又 $%E2%88%A0QBT%3D%E2%88%A0SET$

$%5Cimplies%20%E2%96%B3BTQ%E2%88%BD%E2%96%B3ETS$

$%5Cimplies%20%E2%88%A0BQT%3D%E2%88%A0EST$ ，

???????? $%5Cfrac%7BTS%7D%7BTQ%7D%3D%5Cfrac%7BTE%7D%7BTB%7D%3D%5Cfrac%7BTC%7D%7BTD%7D$

$%5Cimplies%20TS%20%5Ccdot%20TD%20%3D%20TQ%20%5Ccdot%20TC$

$%5Cimplies%20C%2C%20D%2C%20Q%2C%20S$ 共圓

$%5Cimplies%20%E2%88%A0SQC%3D%E2%88%A0SDC$

$%5Cimplies%20%E2%88%A0SQC-%E2%88%A0BQT%3D%E2%88%A0SDC-%E2%88%A0EST$

$%5Cimplies%20%E2%88%A0PQS%3D%E2%88%A0PRS$

$%5Cimplies%20P%2C%20S%2C%20Q%2C%20R$ 共圓

$Q.E.D.$

說明? 本題的思路是從條件出發(fā)，尋找圖形的性質，進而得出結論。

本文中的方法僅為個人方法，如有雷同，純屬巧合.

如果讀者有其他方法，或者有問題，歡迎分享交流！

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