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關(guān)于橢圓切線的另類解法

2023-07-02 22:03 作者:也許叫波波  | 我要投稿

關(guān)于數(shù)學(xué)中橢圓切線的另類求法

已知兩定點(diǎn)A(-2,0)和B(2,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線y=x+3上運(yùn)動(dòng),橢圓C以A、B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P,則橢圓C的離心率的最大值為多少?

分析:首先我們有a^2=b^2+c^2

??????其中c=2恒成立,要求離心率的最大值,我們只需使a最小

??????隨著a的減小,橢圓會(huì)逐漸遠(yuǎn)離直線,依據(jù)題目意思,橢圓與直線有交點(diǎn)?

??????故存在一個(gè)臨界值恰好相切,此時(shí)a為滿足題意的最小值???????????????????????????????????

??????進(jìn)而此題轉(zhuǎn)化為求c=2且有一條切線為y=x+3的橢圓的離心率??

如圖?

? 圖中即為相切情況 要求此時(shí)橢圓的離心率,我們一般選擇將直線方程代入橢圓,再利用?=0求解,而這計(jì)算量并不算小,我們?cè)倏戳硪活}

已知橢圓C的方程為x^2/4+y^2=1,求x+2√3y的最值?

這道題目有兩種常見解法

解法一:令x=2cosɑ,y=sinɑ ,代入x+2√3y,利用輔助角公式求最值

解法二:令x+2√3y=m,那么這樣/m/就變成了直線在x軸上的截距

????????相切時(shí)截距最大,利用上題中求切線的方法可求

通過這兩道題目,我們不難發(fā)現(xiàn)其中的聯(lián)系,我們可以使用三角函數(shù)來求得橢圓的切線。

第一題中,設(shè)橢圓的方程為x^2/a2+y2/(a^2-4)=1,這樣我們就可以令x=acosɑ???y=√(a^2-4)sinɑ

y= x+3是它的切線,說明y-x=m中m的最值為3

將x=acosɑ??y=√(a^2-4)sinɑ代入y-x=m,再利用輔助角公式有y-x=√(a^2-4+a^2)sin(ɑ+Θ)??tanΘ=a/√(a^2-4),其中y-x最值為3????????????????????????????????????故√(a^2-4+a^2)=3解得a=√26/2,即離心率最大值為2√26/13。

通過這樣的方法我們可以省去極大的麻煩,很快算得答案。

嘗試將其進(jìn)行推廣。

如果我們遇到這樣一道題,求經(jīng)過某點(diǎn)的切線。分兩種情況,一是點(diǎn)在曲線上,一是點(diǎn)在曲線外。對(duì)于點(diǎn)在曲線上,我們可以直接利用二級(jí)結(jié)論求解。

對(duì)于橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上的點(diǎn)P(m,n)其斜率為-b^2m/a^2n

對(duì)于雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1上的點(diǎn)P(m,n)其斜率為b^2m/a^2n

對(duì)于y^2=2px上的點(diǎn)P(m,n)其斜率為p/n

對(duì)于x^2=2py上的點(diǎn)P(m,n)其斜率為m/p

在曲線上又分為在坐標(biāo)軸上與不在坐標(biāo)軸上

坐標(biāo)軸上:例如(0,n),不妨令切線為y=kx+n,即y-kx=n,將其用三角換元代換,同上用輔助角公式即可求出k的值。

不在坐標(biāo)軸上:在曲線外與其為同一種解法。例如P(m,n),設(shè)切線為y-n=k(x-m),整理有y-kx=n-mk,同上三角代換及輔助角公式可求解。

不妨試試這道改編題

求經(jīng)過(1,4)的橢圓2x^2/13+2y^2/5=1 的切線?

解:設(shè)切線方程為y-4=k(x-1),即y-kx=4-k

另設(shè)x=√26/2cosɑ?y=√10/2sinɑ 代入直線√10/2sinɑ-√10/2kcosɑ?=4-k??????????????????????????????????????????????? ??根據(jù)輔助角公式有√(10/4+26/4k^2)sin(ɑ+Θ)=4-k??tanΘ=-(√65)k/5

切線中滿足4-k為最值,故而√(10/4+26/4k^2)=4-k

解得k=1或-27/11

如此看來,這樣的方法具有一定的適用性,簡潔有趣,或許可以推廣至所有可使用三角換元的曲線。

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