考慮一維的弦振動，

初始條件為，

假設(shè)邊界條件為兩端固定，。在此類邊界條件下，空間基函數(shù)為?，其中?。將? 和??分別在空間上展開成傅里葉級數(shù)，

其中展開系數(shù)為，

代入初始條件，將展開系數(shù)記為，

將級數(shù)形式代回原方程可得，

要滿足以上方程，需要對任意的??都滿足，

于是原定解問題就轉(zhuǎn)化為了二階非齊次常微分方程的定解問題，

利用拉普拉斯變換求解。假設(shè)變換后的像函數(shù)為，

由拉普拉斯變換的基本性質(zhì)可得，

變換后的方程為，

得到相空間中的解，

對其求逆變換，

前兩項為常用的三角函數(shù)，最后一項為兩個函數(shù)的卷積，

代回到??的級數(shù)形式，可得到最終的通解，