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樹狀數(shù)組問題

樹狀數(shù)組一般用于解決：給定一個數(shù)組，修改其中某些元素的值，求該數(shù)組某個區(qū)間的和的問題。如果我們用暴力方法來解決，那么每次查詢的時間復(fù)雜度都是 ??，以這種方法一旦數(shù)值過大，就會時間超限。于是我們就要用到樹狀數(shù)組的思路，它每次查詢的時間復(fù)雜度就是，這樣就可以解決數(shù)值比較大的問題了。

那么我們來看一道模板例題：https://www.luogu.com.cn/problem/P3374，題干如下：

題目描述

如題，已知一個數(shù)列，你需要進(jìn)行下面兩種操作：

• 將某一個數(shù)加上

• 求出某區(qū)間每一個數(shù)的和

輸入格式

第一行包含兩個正整數(shù) ，分別表示該數(shù)列數(shù)字的個數(shù)和操作的總個數(shù)。??

第二行包含 個用空格分隔的整數(shù)，其中第 個數(shù)字表示數(shù)列第 項(xiàng)的初始值。

接下來 行每行包含 個整數(shù)，表示一個操作，具體如下：

• 1 x k ?含義：將第 個數(shù)加上

• 2 x y? 含義：輸出區(qū)間 內(nèi)每個數(shù)的和

輸出格式

輸出包含若干行整數(shù)，即為所有操作 的結(jié)果。

樣例 #1

樣例輸入 #1

樣例輸出 #1

提示

【數(shù)據(jù)范圍】

對于 的數(shù)據(jù)，，； ?

對于 的數(shù)據(jù)，； ?

對于 ?的數(shù)據(jù)，。

數(shù)據(jù)保證對于任意時刻， 的任意子區(qū)間（包括長度為和 的子區(qū)間）和均在 ?范圍內(nèi)。

樣例說明：

故輸出結(jié)果14、16

解決方法

?I ?暴力（70 pts）

當(dāng)然，我們也可以用前綴和的方法使查詢的時間復(fù)雜度降到 $O(1)$ ，但是對于每次修改數(shù)組中的數(shù)據(jù)，復(fù)雜度就會變高，所以說整體的時間復(fù)雜度基本沒有變化。

II 樹狀數(shù)組

樹狀數(shù)組的本質(zhì)還是一個數(shù)組，但是我們可以用以下方法將其看作一個二叉樹，數(shù)組 $a$ 指的就是原數(shù)組， 指的是樹狀數(shù)組：

這個時候我們要用到 函數(shù)來計算 的值：

也可以這樣寫：

然后得出區(qū)間和：

向樹狀數(shù)組中添加元素：

這樣我們就寫好了樹狀數(shù)組的模板。

完整代碼如下：

總結(jié)

• 樹狀數(shù)組利用二進(jìn)制更新數(shù)組，將時間復(fù)雜度降低到 $O(log n)$

• 樹狀數(shù)組每個節(jié)點(diǎn)的值就是它的前綴和